ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΤΥΠΟΥ Α 1966 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ)

parmenides51 · #1

Οι σχολές του ακαδημαϊκού απολυτηρίου τύπου Α που εξετάστηκαν τότε στα μαθηματικά, άνηκαν μετά στον Οικονομικό Κύκλο .

1. α) Τι ονομάζεται φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος; Να βρείτε τον τύπο του αθροίσματος των $\displaystyle{\nu}$ πρώτων όρων της.
β) Θεωρούμε δυο προόδους, μια αριθμητική $\displaystyle{2,\beta,\gamma,\delta, ...}$ και μια γεωμετρική $\displaystyle{2,B,\Gamma,\Delta,...}$ .
Να προσδιοριστούν η διαφορά της αριθμητικής και ο λόγος της γεωμετρικής προόδου ώστε να ισχύουν $\displaystyle{\gamma=\Gamma}$ και $\displaystyle{ \delta=\Delta}$ .

2. α) Ποιοι γεωμετρικοί τύποι συνδέουν τα στοιχεία κάθε ορθογωνίου τριγώνου;
β) Να βρεθεί ο όγκος κανονικής εξαγωνικής πυραμίδας με δεδομένο οτι έχει εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας $\displaystyle{E}$ και πλευρά βάσης $\displaystyle{\alpha}$ .

3. α) Να εκφρασθούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί συναρτήσει του $\displaystyle{\eta\mu x}$ .
Να εξετασθούν και να διερευνηθούν όλες οι περιπτώσεις του τόξου $\displaystyle{x}$ όταν $\displaystyle{0^o<χ<360^o}$ .
β) Να υπολογισθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί όλων των τόξων όταν είναι $\displaystyle{0^o<χ<360^o}$ και $\displaystyle{\eta\mu x=-\frac{4}{5}}$

Tolaso J Kos · #2

parmenides51 έγραψε:
1. α) Τι ονομάζεται φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος; Να βρείτε τον τύπο του αθροίσματος των $\displaystyle{\nu}$ πρώτων όρων της.
β) Θεωρούμε δυο προόδους, μια αριθμητική $\displaystyle{2,\beta,\gamma,\delta, ...}$ και μια γεωμετρική $\displaystyle{2,B,\Gamma,\Delta,...}$ .
Να προσδιοριστούν η διαφορά της αριθμητικής και ο λόγος της γεωμετρικής προόδου ώστε να ισχύουν $\displaystyle{\gamma=\Gamma}$ και $\displaystyle{ \delta=\Delta}$ .

α) Φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος ονομάζεται η πρόοδος για την οποία ισχύει πώς ο λόγος $\displaystyle{\lambda}$ είναι $\displaystyle{\left | \lambda \right | <1}$ . Το άθροισμα των $\displaystyle{\nu }$ πρώτων όρων της είναι ίσο με $\displaystyle{\sum =\frac{a_1\left ( \lambda ^\nu -1 \right )}{\lambda -1}}$

Απόδειξη
Έστω $\displaystyle{\sum}$ το άθροισμα $\displaystyle{\sum =a_1+\lambda a_1 +\lambda ^2a_1+...+\lambda ^\nu a_1}$ , $\displaystyle{(*)}$
Πολλαπλασιάζω τα μέλη της $\displaystyle{(*)}$ με $\displaystyle{\lambda }$ και έχω: $\displaystyle{\lambda \sum =\lambda (a_1+\lambda a_1 +\lambda ^2a_1+...+\lambda ^\nu a_1)\, \, \, (**)}$

Αφαιρώ από τα μέλη της $\displaystyle{(**)}$ τα μέλη της $\displaystyle{(*)}$ και παίρνω ότι: $\displaystyle{\lambda \sum -\sum =\lambda^\nu a_1-a_1\Leftrightarrow \left ( \lambda -1 \right )\cdot \sum =a_1\left ( \lambda ^\nu -1 \right )}$ . Εφόσον $\displaystyle{\lambda \neq 1}$ ο τελευταίος τύπος δίνει $\displaystyle{\boxed{\sum =\frac{a_1\left ( \lambda ^\nu -1 \right )}{\lambda -1}}}$ το οποίο αποδεικνύει το ζητούμενο.

β. Για την αριθμητική πρόοδο , αν $\displaystyle{\omega }$ η διαφορά της τότε , ισχύει το εξής:
$\displaystyle{\begin{cases} 2+\omega =\beta & \\ \beta +\omega =\gamma & \\ \gamma +\omega =\delta & \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2+2\omega =\gamma & \\ 2+3\omega =\delta & \end{cases}\, \, \, \, \, (1)}$

Για τη γεωμετρική πρόοδο, αν $\displaystyle{\lambda }$ είναι ο λόγος της, τότε ισχύει το εξής:
$\displaystyle{\begin{cases} 2\cdot \lambda =B& \\ 2\cdot \lambda ^2=\Gamma & \\ 2\cdot \lambda ^3=\Delta & \\ \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2\cdot \lambda ^2=\Gamma & \\ 2\cdot \lambda ^3=\Delta & \end{cases}}$

Τώρα πρέπει να είναι: $\displaystyle{\gamma =\Gamma \, \, \, \, \kappa \alpha \iota \, \, \, \, \delta =\Delta \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2+2\omega =2\cdot \lambda ^2& \\ 2+3\omega =2\lambda ^3 & \end{matrix}\right.}$ . Από την επίλυση του τελευταίου συστήματος έχουμε τις εξής λύσεις: $\displaystyle{ \left ( \omega =0,\, \, \lambda =1 \right ),\, \, \, \left ( \omega =-\frac{3}{4},\, \, \, \lambda =-\frac{1}{2} \right )}$

Εδώ πρέπει να απορρίψω κάποια; Δεν έχω κάποιο περιορισμό από την εκφώνηση.

Τόλης

ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΤΥΠΟΥ Α 1966 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ)

ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΤΥΠΟΥ Α 1966 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ)

Re: ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΤΥΠΟΥ Α 1966 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ)

Μέλη σε σύνδεση