ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΤΥΠΟΥ Β 1966 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (ΠΟΛ-ΦΥΣ-ΓΕΩΔ)

parmenides51 · #1

Οι σχολές του ακαδημαϊκού απολυτηρίου τύπου B που εξετάστηκαν τότε στα μαθηματικά, άνηκαν μετά στον Πολυτεχνικό, Φυσικομαθηματικό και Γεωπονοδασολογικό Κύκλο .

1. Να ορισθούν οι τιμές του τόξου $\displaystyle{x}$ που περιέχονται μεταξύ $\displaystyle{0}$ και $\displaystyle{2\pi }$ που επαληθεύουν την ανισότητα $\displaystyle{\frac{\sigma\upsilon\nu 2x+\sigma\upsilon\nu x-1}{\sigma\upsilon\nu 2x}>2}$

2. Εαν $\displaystyle{\alpha,\beta, \gamma}$ είναι πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός, να βρεθεί η συνθήκη για την οποία η εξίσωση $\displaystyle{\alpha \sigma\upsilon\nu x+\beta\eta\mu x+\gamma=0}$ δεν επιδέχεται λύση. Να εξετάσετε για ποιες τιμές των $\displaystyle{ \alpha,\beta, \gamma}$ η παραπάνω εξίσωση δέχεται λύσεις της μορφής $\displaystyle{x=(2k+1)\pi}$ όπου $\displaystyle{k}$ ακέραιος.

3. Χρησιμοποιώντας γνωστό σας τύπο, να αποδείξετε οτι εαν $\displaystyle{ -\frac{\pi}{2}\le x \le \frac{\pi}{2}}$ και $\displaystyle{-\frac{\pi}{2}\le y \le \frac{\pi}{2}}$ τότε ισχύει η σχέση $\displaystyle{\frac{1}{2}( \sigma\upsilon\nu x+ \sigma\upsilon\nu y)\le \sigma\upsilon\nu\left(\frac{ x+y}{2}\right)}$ (1). Σε ποια περίπτωση ισχύει το ίσον;
Θεωρήστε τώρα γνωστό οτι εαν $\displaystyle{H}$ είναι το ορθόκεντρο τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ , τότε τα μήκη $\displaystyle{\sigma_2}$ και $\displaystyle{\sigma_3}$ των ευθύγραμμων τμημάτων $\displaystyle{HB}$ και $\displaystyle{H\Gamma}$ , δίνονται από τους τύπους $\displaystyle{ \sigma_2 =2R\sigma\upsilon\nu B , \sigma_3 =2R\sigma\upsilon\nu \Gamma}$ , όπου $\displaystyle{R}$ το μήκος της ακτίνας του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ . Με τη βοήθεια της σχέσης (1) να δείξετε οτι σε κάθε τρίγωνο ισχύει η σχέση $\displaystyle{ \frac{\sigma_2 + \sigma_3 }{{\color{red}{R}}}\le 4 \eta\mu \frac{A}{2}}$ . Σε ποια περίπτωση ισχύει το ίσον;

Σχόλιο: Όπως αναφέρει ο Πάλλας στο Δελτίο του, σχετικά με το 3ο θέμα, τα δεδομένα ισχύουν μόνο για $\displaystyle{\widehat{B}, \widehat{\Gamma} < \frac{\pi}{2}}$

edit
Διόρθωση παρανομαστή στο αποδεικτέο στο 3ο θέμα, ευχαριστώ τον socrates που πρόσεξε οτι κάτι δεν πήγαινε καλά
και συμπλήρωση σχολίου

#2

parmenides51 έγραψε:
1. Να ορισθούν οι τιμές του τόξου $\displaystyle{x}$ που περιέχονται μεταξύ $\displaystyle{0}$ και $\displaystyle{2\pi }$ που επαληθεύουν την ανισότητα $\displaystyle{\frac{\sigma\upsilon\nu 2x+\sigma\upsilon\nu x-1}{\sigma\upsilon\nu 2x}>2}$

Για $\displaystyle{\,\,\,\,x \ne \frac{{\rm{\pi }}}{2} \wedge x \ne \frac{{{\rm{3\pi }}}}{2}\,\,\,\,}$ , έχουμε :
$\displaystyle{\begin{array}{l} \frac{{\sigma \upsilon \nu 2x + \sigma \upsilon \nu x - 1}}{{\sigma \upsilon \nu 2x}} > 2 \Leftrightarrow \frac{{\sigma \upsilon \nu 2x + \sigma \upsilon \nu x - 1}}{{\sigma \upsilon \nu 2x}} - 2 > 0 \Leftrightarrow \frac{{\sigma \upsilon \nu 2x + \sigma \upsilon \nu x - 1 - 2{\rm{\sigma \upsilon \nu 2x}}}}{{\sigma \upsilon \nu 2x}} > 0 \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow \frac{{\sigma \upsilon \nu x - 1 - {\rm{\sigma \upsilon \nu 2x}}}}{{\sigma \upsilon \nu 2x}} > 0 \Leftrightarrow \frac{{\sigma \upsilon \nu x - 1 - 2\sigma \upsilon {\nu ^2}x + 1}}{{\sigma \upsilon \nu 2x}} > 0 \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu x\sigma \upsilon \nu 2x(1 - 2\sigma \upsilon \nu x) > 0 \\ \end{array}}$
Είναι :
$\displaystyle{\begin{array}{l} \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{\sigma \upsilon \nu x > 0}} \Leftrightarrow 0 < x < \frac{{\rm{\pi }}}{2} \vee \frac{{{\rm{3\pi }}}}{2} < x < 2{\rm{\pi }} \\ \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{\sigma \upsilon \nu 2x > 0}} \Leftrightarrow 0 < 2x < \frac{{\rm{\pi }}}{2} \vee \frac{{{\rm{3\pi }}}}{2} < 2x < 2{\rm{\pi }} \Leftrightarrow 0 < x < \frac{{\rm{\pi }}}{4} \vee \frac{{{\rm{3\pi }}}}{4} < x < {\rm{\pi }} \\ \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 - 2\sigma \upsilon \nu x > 0 \Leftrightarrow \sigma {\rm{\upsilon }}\nu x < \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu x < {\rm{\sigma \upsilon \nu }}\frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \frac{\pi }{3} < x < \frac{{5{\rm{\pi }}}}{3} \\ \end{array}}$
(Στο συνημμένο το σχήμα για τη λύση της τελευταίας ανίσωσης και ο πίνακας προσήμων )
Τελικά :
$\displaystyle{\,\,x \in \left( {\frac{{\rm{\pi }}}{4},\frac{\pi }{3}} \right) \cup \left( {\frac{{\rm{\pi }}}{2},\frac{{3\pi }}{4}} \right) \cup \left( {\pi ,\frac{{3\pi }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{{\rm{5\pi }}}}{3},2\pi } \right)}$

ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΤΥΠΟΥ Β 1966 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (ΠΟΛ-ΦΥΣ-ΓΕΩΔ)

ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΤΥΠΟΥ Β 1966 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (ΠΟΛ-ΦΥΣ-ΓΕΩΔ)

Re: ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΤΥΠΟΥ Β 1966 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (ΠΟΛ-ΦΥΣ-ΓΕΩΔ)

Μέλη σε σύνδεση