Σ.Μ.Α. 1966 - ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. Να προσδιοριστούν τα $\displaystyle{\lambda}$ και $\displaystyle{\mu}$ έτσι ώστε οι εξισώσεις $\displaystyle{\sigma (x)=x^3-6x^2+\lambda x-3=0}$ και $\displaystyle{\phi (x)= x^3-x^2+\mu x+2=0}$ να έχουν δυο κοινές ρίζες.

2. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{4(x^2-x+1)^3-27x^2(x-1)^2=0}$

3. Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{x^4-(\alpha+\beta) x^2+\gamma^2+\delta-\alpha\beta=0}$ (1) της οποίας οι ρίζες αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. Να προσδιορισθούν οι πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma,\delta, \kappa,\lambda}$ έτσι ώστε να επαληθεύουν την σχέση $\displaystyle{\gamma^2+\delta^2+\kappa^2+13\alpha^2+\lambda^2=2(\gamma\delta+3\alpha \kappa +2\alpha\lambda)}$ λαμβάνοντας υπόψη οτι η (1) τίθεται στην μορφή $\displaystyle{(x^2-\kappa)^2+\lambda^2-2\gamma=0}$ .

4. Να δειχθεί η ταυτότητα $\displaystyle{\begin{pmatrix} 2\nu\\ \nu \end{pmatrix}=1+\begin{pmatrix} \nu\\ 1 \end{pmatrix}^2+\begin{pmatrix} \nu\\ 2 \end{pmatrix}^2+\begin{pmatrix} \nu\\ 3 \end{pmatrix}^2+...++\begin{pmatrix} \nu\\ \nu -1 \end{pmatrix}^2+\begin{pmatrix} \nu\\ \nu \end{pmatrix}^2}$ όπου $\displaystyle{\nu \in \amthbb{N}}$

5. Δίνεται το πολυώνυμο $\displaystyle{\sigma (x,y)=(x+y)^{\nu}-x^{\nu}-y^{\nu}}$ . Να δειχθεί οτι
εαν $\displaystyle{\nu=6k+5}$ ( $\displaystyle{k=}$ φυσικός ή $\displaystyle{0}$ ) το $\displaystyle{\sigma (x,y)}$ διαιρείται από το $\displaystyle{x^2+xy+y^2}$ ,
εαν $\displaystyle{\nu=6k+1}$ τότε το $\displaystyle{το \sigma (x,y)}$ διαιρείται από το $\displaystyle{(x^2+xy+y^2)^2}$ .

#2

parmenides51 έγραψε: 4. Να δειχθεί η ταυτότητα $\displaystyle{\begin{pmatrix} 2\nu\\ \nu \end{pmatrix}=1+\begin{pmatrix} \nu\\ 1 \end{pmatrix}^2+\begin{pmatrix} \nu\\ 2 \end{pmatrix}^2+\begin{pmatrix} \nu\\ 3 \end{pmatrix}^2+...++\begin{pmatrix} \nu\\ \nu -1 \end{pmatrix}^2+\begin{pmatrix} \nu\\ \nu \end{pmatrix}^2}$ όπου $\displaystyle{\nu \in \amthbb{N}}$

Θεωρούμε το πολυώνυμο $\displaystyle{(1+x)^n(1+x)^n=(1+x)^{2n}.}$

Ο συντελεστής του $\displaystyle{x^n}$ στο αριστερό μέλος είναι

$\displaystyle{\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{k}\binom{n}{n-k}=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{k}^2,}$

ενώ στο δεξί είναι $\displaystyle{\binom{2n}{n}.}$
Το ζητούμενο έπεται.

#3

parmenides51 έγραψε: 2. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{4(x^2-x+1)^3-27x^2(x-1)^2=0}$

Θέτουμε

$\displaystyle{a=x^2-x,}$ οπότε η εξίσωση γράφεται

$\displaystyle{4(a+1)^3-27a^2=0 \iff 4a^3-15a^2+12a+4=0 \iff (a-2)^2(4a+1)=0 \iff a=2 \vee a=-\frac{1}{4}.}$

Επομένως

$\displaystyle{x^2-x-2=0\iff x=2\vee x=-1}$

ή

$\displaystyle{x^2-x+\frac{1}{4}=0\iff x=\frac{1}{2}.}$

Σ.Μ.Α. 1966 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Σ.Μ.Α. 1966 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1966 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1966 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση