ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1965 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Αν σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ ισχύει η σχέση $\displaystyle{\beta(\alpha^2-\beta^2)=\gamma(\alpha^2-\gamma^2)}$ , να αποδειχθεί οτι ή το τρίγωνο είναι ισοσκελές ή μια από τις γωνίες του είναι $\displaystyle{120^o}$ .

2.Να δειχθεί η ισότητα $\displaystyle{K=\eta\mu^2A\eta\mu^2B+\sigma\upsilon\nu^2A\sigma\upsilon\nu^2B=\frac{1}{2}+\frac{\sigma\upsilon\nu 2A\sigma\upsilon\nu 2B}{2}}$

3. Αν ισχύει $\displaystyle{\frac{\varepsilon \phi (K-\lambda)}{\varepsilon \phi K}+\frac{\eta\mu^2\theta}{\eta\mu^2K}=1}$ , να δειχθεί η ισότητα $\displaystyle{\varepsilon\phi^2\theta=\varepsilon\phi K\varepsilon\phi \lambda}$

Ηλίας Θ. · #2

parmenides51 έγραψε:2.Να δειχθεί η ισότητα $\displaystyle{K=\eta\mu^2A\eta\mu^2B+\sigma\upsilon\nu^2A\sigma\upsilon\nu^2B=\frac{1}{2}+\frac{\sigma\upsilon\nu 2A\sigma\upsilon\nu 2B}{2}}$

Είναι
$\;\displaystyle{\frac{1}{2}+\frac{\sigma\upsilon\nu 2A\sigma\upsilon\nu 2B}{2}}=\frac{1+(1-2\eta\mu^2A)(1-2\eta\mu^2B)}{2}=\frac{2-2\eta\mu^2A-2\eta\mu^2B+4\eta\mu^2A\eta\mu^2B}{2}}$

$\displaystyle{=1-\eta\mu^2A-\eta\mu^2B+2\eta\mu^2A\eta\mu^2B==1-\eta\mu^2A-\eta\mu^2B+\eta\mu^2A\eta\mu^2B+\eta\mu^2A\eta\mu^2B}$

$\displaystyle{=(1-\eta\mu^2A)-\eta\mu^2B(1-\eta\mu^2A)+\eta\mu^2A\eta\mu^2B=(1-\eta\mu^2A)(1-\eta\mu^2B)+\eta\mu^2A\eta\mu^2B}$

$\displaystyle{=\eta\mu^2A\eta\mu^2B+\sigma\upsilon\nu^2A\sigma\upsilon\nu^2B}$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

parmenides51 έγραψε:1. Αν σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ ισχύει η σχέση $\displaystyle{\beta(\alpha^2-\beta^2)=\gamma(\alpha^2-\gamma^2)}$ , να αποδειχθεί οτι ή το τρίγωνο είναι ισοσκελές ή μια από τις γωνίες του είναι $\displaystyle{120^o}$ .

Η δεδομένη σχέση συνεπάγεται την

$\gamma ^{3}-\beta ^{3}-\gamma \alpha ^{2}+\beta \alpha ^{2}=0\Rightarrow$

$\left(\gamma -\beta \right)\left(\beta ^{2}+\beta \gamma +\gamma ^{2} \right)-\alpha ^{2}\left(\gamma -\beta \right)=0\Rightarrow$

$\left(\gamma -\beta \right)\left(\beta ^{2}+\beta \gamma +\gamma ^{2} -\alpha ^{2}\right)=0\Rightarrow$

$\gamma =\beta$ ή $\alpha ^{2}=\beta ^{2} +\beta \gamma +\gamma ^{2}$

Το ενδεχόμενο το τρίγωνο να είναι ισοσκελές προέκυψε......

Αν $\alpha ^{2}=\beta ^{2} +\beta \gamma +\gamma ^{2}$ τότε

$\beta ^{2}+\gamma ^{2}-2\beta \gamma \sigma \upsilon \nu A=\beta ^{2} +\beta \gamma +\gamma ^{2}$

δηλαδή

$\sigma \upsilon \nu A =-\frac{1}{2}$

κάτι που συνεπάγεται ότι $A=120^{\circ}$

Έτσι όπως διατυπώνεται το θέμα ζητάει να αποδειχθεί μια αποκλειστική διάζευξη. Από τη παραπάνω λύση φαίνεται ότι το συμπέρασμα είναι διάζευξη . Μπορεί να υπάρχει ισοσκελές τρίγωνο με γωνία ίση με $120^{\circ}$ .

ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1965 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1965 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1965 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1965 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση