ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1965 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Από σημείο $\displaystyle{M}$ κύκλου άγεται ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{MN}$ ίσο και παράλληλο προς δοθέν ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{AB}$ . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου $\displaystyle{N}$ όταν το $\displaystyle{M}$ κινείται πάνω στον κύκλο.

2. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του χώρου, των οποίων οι αποστάσεις από δυο δοθέντα σημεία έχουν λόγο ίσο προς τον λόγο δυο ευθυγράμμων τμημάτων $\displaystyle{\mu}$ και $\displaystyle{\nu}$ .

3. Αν σε παραλληλεπίπεδο οι έδρες είναι ρόμβοι ίσοι των οποίων δίνεται η πλευρά και η διαγώνιος, να βρεθεί ο όγκος του.

#2

parmenides51 έγραψε:
......................................................
3. Αν σε παραλληλεπίπεδο οι έδρες είναι ρόμβοι ίσοι των οποίων δίνεται η πλευρά και η διαγώνιος, να βρεθεί ο όγκος του.

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα όπου έχει κατασκευαστεί ένα τέτοιο παραλληλεπίπεδο με ακμή ίση με $\displaystyle{a}$ και με διαγωνίους των εδρών
$\displaystyle{d_1, d_2}$ γνωστά μήκη. Ειδικότερα $\displaystyle{a=5, d_1=8, d_2=6}$ μονάδες μήκους.
(Ενδιαφέρον θα είχε και η κατασκευή ενός τέτοιου στερεού)

: Όγκος πυραμίδας 2.PNG (106.17 KiB) Προβλήθηκε 1105 φορές

Έστω λοιπόν ότι γνωρίζουμε τα μεγέθη: $\displaystyle{a,d_1}$
Είναι αυτονόητο ότι όταν γνωρίζουμε την ακμή $\displaystyle{a}$ και μία διαγώνιο π.χ. την $\displaystyle{d_1}$ τότε εύκολα υπολογίζουμε την άλλη
από τον τύπο:
$\displaystyle d_2=2\sqrt{a^2-(\frac{d_1}{2})^2} \ \ (1)$

Από το τρίγωνο $\displaystyle{ABZ}$ εύκολα υπολογίζουμε το τμήμα $\displaystyle{AS}$ από το Θεώρημα της Επέκτασης του Πυθαγορείου Θεωρήματος.
Είναι:
$\displaystyle AS=\frac{2a^2-d_2^2}{2a}\ \ (2)$

Από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων $\displaystyle{AST}$ και $\displaystyle{AOB}$ προκύπτει ότι:

$\displaystyle \frac{AS}{AT}=\frac{AO}{AB}\Rightarrow AT=(AB)\frac{AS}{AO}\Rightarrow AT=a\frac{AS}{\displaystyle \frac{d_1}{2}}=2a\frac{AS}{d_1}\ \ (3)$

Ο τύπος (3) σύμφωνα με τους (1) και (2) γίνεται:

$\displaystyle{AT=\frac{d_1^2-2a^2}{d_1}\ \ (4)}$

Τέλος από το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{ATZ}$ βρίσκουμε:

$\displaystyle ZT=\sqrt{a^2-(\frac{d_1^2-2a^2}{d_1})^2}\ \ (5)$

Είναι γνωστό ότι το εμβαδόν της βάσης που είναι ρόμβος δίνεται από τον τύπο:

$\displaystyle{(ABCD)=\frac{1}{2}d_1d_2=\frac{1}{2}d_1\cdot 2\sqrt{a^2-\frac{d_1^2}{4}}}$

Δηλαδή:

$\displaystyle{(ABCD)=d_1\sqrt{a^2-\frac{d_^2}{4}} \ \ (6)}$

Επομένως από τους τύπους (5) και (6) προκύπτει ότι ο όγκος του παραλληλεπιπέδου αυτού δίνεται από τη σχέση:

$\displaystyle V=(ABCD)(ZT)=d_1\sqrt{a^2-\frac{d_1^2}{4}}\cdot \sqrt{a^2-(\frac{d_1^2-2a^2}{d_1})^2}$

(Άχαρος τύπος, ...αλλά σωστός)

Κώστας Δόρτσιος

ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1965 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1965 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1965 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση