ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1965 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Από δοθέν σημείο $\displaystyle{A}$ να φέρετε τέμνουσα $\displaystyle{AB\Gamma}$ δοθέντος κύκλου $\displaystyle{ O}$ , τέτοια ώστε τα τμήματα $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{A\Gamma}$ της τέμνουσας να έχουν λόγο $\displaystyle{\frac{\mu}{\nu}}$ .

2. Από ένα από τα σημεία τομής δυο κύκλων κέντρων $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ φέρνουμε τυχαία κοινή τέμνουσα τους $\displaystyle{M\Gamma N}$ και συνδέουμε με ευθείες τα σημεία $\displaystyle{M}$ και $\displaystyle{N}$ με τα αντίστοιχα κέντρα $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ . Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος του κοινού σημείου $\displaystyle{\Delta}$ των ευθειών $\displaystyle{ MA}$ και $\displaystyle{NB}$ ;

3. Κοινή κάθετος και ελάχιστη απόσταση δυο ασύμβατων ευθειών.

4. Από την κορυφή $\displaystyle{A}$ ισοσκελούς τριγώνου φέρνουμε χορδή $\displaystyle{A\Delta E}$ του περιγεγραμμένου κύκλου του, που τέμνει την βάση $\displaystyle{B\Gamma}$ στο $\displaystyle{\Delta}$ και τον κύκλο στο $\displaystyle{E}$ . Να δείξετε ότι $\displaystyle{(AB)^2= (A\Delta)( AE)}$ .

ΥΓ. Το 3ο θέμα έχει το σχόλιο ''θεωρία'' στο σχετικό Δελτίο του Πάλλα, οπότε έτσι εξηγείται η λιτή διατύπωση.

Paolos · #2

Από την κορυφή $\displaystyle{A}$ ισοσκελούς τριγώνου φέρνουμε χορδή $\displaystyle{A\Delta E}$ του περιγεγραμμένου κύκλου του, που τέμνει την βάση $\displaystyle{B\Gamma}$ στο $\displaystyle{\Delta}$ και τον κύκλο στο $\displaystyle{E}$ . Να δείξετε ότι $\displaystyle{(AB)^2= (A\Delta)( AE)}$ .

Τα τρίγωνα $\displaystyle{ABD\,,\,\,ABE}$ είναι όμοια διότι η $\displaystyle{B\mathop A\limits^ \wedge D}$ είναι κοινή γωνία και $\displaystyle{\mathop E\limits^ \wedge = \mathop C\limits^ \wedge ( = {\mathop B\limits^ \wedge _1})}$ (ως εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο). Άρα ο λόγος ομοιότητας θα είναι
$\displaystyle{\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AB}}\left( { = \frac{{BE}}{{BD}}} \right) \Rightarrow A{B^2} = AD \cdot AE}$

#3

parmenides51 έγραψε:
2. Από ένα από τα σημεία τομής δυο κύκλων κέντρων $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ φέρνουμε τυχαία κοινή τέμνουσα τους $\displaystyle{M\Gamma N}$ και συνδέουμε με ευθείες τα σημεία $\displaystyle{M}$ και $\displaystyle{N}$ με τα αντίστοιχα κέντρα $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ . Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος του κοινού σημείου $\displaystyle{\Delta}$ των ευθειών $\displaystyle{ MA}$ και $\displaystyle{NB}$ ;

Έστω

το δεύτερο κοινό σημείο των κύκλων. Τα τρίγωνα $\displaystyle{{\rm A}{\rm M}\Gamma ,{\rm B}{\rm N}\Gamma }$ είναι ισοσκελή. $\displaystyle{{\rm A}\widehat {\rm M}\Gamma = {\rm M}\widehat \Gamma {\rm A} = \omega ,{\rm B}\widehat {\rm N}\Gamma = {\rm B}\widehat \Gamma {\rm N} = \varphi }$

$\displaystyle{{\rm A}\widehat \Gamma {\rm B} = {180^0} - (\omega + \varphi ) = {180^0} - (\Delta \widehat {\rm M}{\rm N} + \Delta \widehat {\rm N}{\rm M}) = {\rm A}\widehat \Delta {\rm B} = \theta }$ , σταθερή.

: ΝΑΥΤ. ΔΟΚΙΜΩΝ 1965.png (24.97 KiB) Προβλήθηκε 932 φορές

Άρα το $\Delta$ κινείται σε κύκλο σταθερής χορδής

που δέχεται γωνία $\theta$ . Επειδή όμως το $\Delta$ δεν μπορεί να είναι εξωτερικό σημείο των δύο αρχικών κύκλων, ο γεωμετρικός τόπος περιορίζεται στο τόξο EHZ

.

ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1965 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1965 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1965 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1965 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση