ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1964 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι $\displaystyle{AB=20}$ μ. , $\displaystyle{A\Gamma=34}$ μ. , $\displaystyle{AM=21}$ μ. όπου $\displaystyle{M}$ μέσο της $\displaystyle{B\Gamma}$ .
Αν $\displaystyle{\widehat{BAM}={x},\widehat{MA\Gamma}={y}}$ , να δειχτεί οτι θα είναι $\displaystyle{\varepsilon\phi \frac{x}{2}=\frac{1}{2}}$ και $\displaystyle{\varepsilon\phi \frac{y}{2}=\frac{1}{4} }$ .

2. Εαν σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ αληθεύει η σχέση $\displaystyle{\sigma\upsilon\nu^2A+ \sigma\upsilon\nu^2 B+ \sigma\upsilon\nu^2\Gamma=1}$ , να δειχτεί οτι αυτό είναι ορθογώνιο.

3. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\eta\mu 9x+\eta\mu 5x+2\eta\mu^2x=1}$

Tolaso J Kos · #2

K. Parmenides στη 2 το

μήπως πρέπει να γίνει

; Γιατί εγώ έτσι τη ξέρω!!
Και η λύση της έχει δοθεί στη δημοσίευση εδώ viewtopic.php?f=23&t=39244&p=181998#p181998

chris · #3

Tolaso J Kos έγραψε:K. Parmenides στη 2 το μήπως πρέπει να γίνει ; Γιατί εγώ έτσι τη ξέρω!!
Και η λύση της έχει δοθεί στη δημοσίευση εδώ viewtopic.php?f=23&t=39244&p=181998#p181998

Όχι σωστό είναι. Στο λινκ σου έχουμε ημίτονα ενώ εδώ συνημίτονα. Αν κάνεις την αντικατάσταση cos^2x=1-sin^2x

αναγόμαστε στην ίδια άσκηση.

Tolaso J Kos · #4

Chris έχεις απόλυτο δίκιο! Ζητώ συγνώμη!
Άρα ουσιαστικά ναι, κάνουμε την αντικατάσταση και πηγαίνουμε στο link

που έδωσα!

Τόλης

Paolos · #5

Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\eta\mu 9x+\eta\mu 5x+2\eta\mu^2x=1}$

Έχουμε ισοδύναμα τα παρακάτω:
$\displaystyle{\eta \mu 9\chi +\eta \mu 5\chi +2\eta {{\mu }^{2}}\chi =1}$
$\displaystyle{\eta \mu 9\chi +\eta \mu 5\chi =1-2\eta {{\mu }^{2}}\chi }$
$\displaystyle{\eta \mu 9\chi +\eta \mu 5\chi =\sigma \upsilon \nu 2\chi }$
$\displaystyle{2\eta \mu \frac{9\chi +5\chi }{2}\cdot \sigma \upsilon \nu \frac{\chi -5\chi }{2}=\sigma \upsilon \nu 2\chi }$
$\displaystyle{2\eta \mu 7\chi \cdot \sigma \upsilon \nu 2\chi =\sigma \upsilon \nu 2\chi }$
$\displaystyle{2\eta \mu 7\chi \cdot \sigma \upsilon \nu 2\chi -\sigma \upsilon \nu 2\chi =0}$
$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu 2\chi \cdot (2\eta \mu 7\chi -1)=0}$
$\displaystyle{\left( \sigma \upsilon \nu 2\chi =0\,\, \right)\,\,\vee \,\,\,\left( 2\eta \mu 7\chi -1=0 \right)}$
$\displaystyle{\left( \sigma \upsilon \nu 2\chi =\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{2}\, \right)\,\vee \left( \eta \mu 7\chi =\eta \mu \frac{\pi }{6} \right)}$

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu 2\chi =\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{2}\,\,\vee \eta \mu 7\chi =\eta \mu \frac{\pi }{6}}$ $\displaystyle{2\chi =\kappa \pi +\frac{\pi }{2}\,\,\,\,\vee \,\,\,\,7\chi =2\kappa \pi +\frac{\pi }{6}\,\,\,\,\,\vee \,\,\,\,\,7\chi =2\kappa \pi +\frac{5\pi }{6}}$
$\displaystyle{\chi =\frac{\kappa \pi }{2}+\frac{\pi }{4}\,\,\,\,\vee \,\,\,\,\chi =\frac{2\kappa \pi }{7}+\frac{\pi }{42}\,\,\,\,\,\vee \,\,\,\,\,\chi =\frac{2\kappa \pi }{7}+\frac{5\pi }{42}\,\,\,,\,\,\,\ }$ $\displaystyle{\kappa = 0, \pm 1, \pm 2,....}$

#6

parmenides51 έγραψε:[
2. Εαν σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ αληθεύει η σχέση $\displaystyle{\sigma\upsilon\nu^2A+ \sigma\upsilon\nu^2 B+ \sigma\upsilon\nu^2\Gamma=1}$ , να δειχτεί οτι αυτό είναι ορθογώνιο.

$\displaystyle{\sigma \upsilon {\nu ^2}{\rm A} + \sigma \upsilon {\nu ^2}{\rm B} + \sigma \upsilon {\nu ^2}\Gamma - 1 = 0}$

$\displaystyle{\sigma \upsilon {\nu ^2}{\rm A} + \sigma \upsilon {\nu ^2}{\rm B} - \eta {\mu ^2}\Gamma = 0}$

$\displaystyle{\frac{{1 + \sigma \upsilon \nu 2{\rm A}}}{2} + \frac{{1 + \sigma \upsilon \nu 2{\rm B}}}{2} - \frac{{1 - \sigma \upsilon \nu 2\Gamma }}{2} = 0}$

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu 2{\rm A} + \sigma \upsilon \nu 2{\rm B} + \sigma \upsilon \nu 2\Gamma + 1 = 0}$

$\displaystyle{2\sigma \upsilon \nu ({\rm A} + {\rm B})\sigma \upsilon \nu ({\rm A} - {\rm B}) + 2\sigma \upsilon {\nu ^2}\Gamma = 0}$

$\displaystyle{ - 2\sigma \upsilon \nu \Gamma \sigma \upsilon \nu ({\rm A} - {\rm B}) + 2\sigma \upsilon {\nu ^2}\Gamma = 0}$

$\displaystyle{ - 2\sigma \upsilon \nu \Gamma \left( {\sigma \upsilon \nu ({\rm A} - {\rm B}) - \sigma \upsilon \nu \Gamma } \right) = 0}$

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \Gamma = 0}$ ή $\displaystyle{{\sigma \upsilon \nu ({\rm A} - {\rm B}) = \sigma \upsilon \nu \Gamma }}$

$\displaystyle{\Gamma = {90^0}}$ ή $\displaystyle{{\rm A} - {\rm B} = \Gamma \Leftrightarrow {\rm A} = {\rm B} + \Gamma \Leftrightarrow {\rm A} = {90^0}}$

Paolos · #7

Σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι $\displaystyle{AB=20}$ μ. , $\displaystyle{A\Gamma=34}$ μ. , $\displaystyle{AM=21}$ μ. όπου $\displaystyle{M}$ μέσο της $\displaystyle{B\Gamma}$ .
Αν $\displaystyle{\widehat{BAM}={x},\widehat{MA\Gamma}={y}}$ , να δειχτεί οτι θα είναι $\displaystyle{\varepsilon\phi \frac{x}{2}=\frac{1}{2}}$ και $\displaystyle{\varepsilon\phi \frac{y}{2}=\frac{1}{4} }$ .

Χρησιμοποιούμε τον τύπο αποτετραγωνισμού:
$\displaystyle{\varepsilon {\varphi ^2}\alpha = \frac{{1 - \sigma \upsilon \nu 2\alpha }}{{1 + \sigma \upsilon \nu 2\alpha }}\left( { \Rightarrow \varepsilon {\varphi ^2}\frac{\alpha }{2} = \frac{{1 - \sigma \upsilon \nu \alpha }}{{1 + \sigma \upsilon \nu \alpha }}} \right)}$ .

Πρώτα όμως θα υπολογίσουμε τα $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \chi \,\,\,,\,\,\,\sigma \upsilon \nu y}$ .

Εφαρμόζουμε το πρώτο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ :
$\displaystyle{{20^2} + {34^2} = 2 \cdot {21^2} + \frac{{{a^2}}}{2} \Rightarrow {a^2} = 1348}$

Εφαρμόζουμε το νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο $\displaystyle{ABM}$ :
$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \chi = \frac{{{{20}^2} + {{21}^2} - \frac{{{a^2}}}{4}}}{{2 \cdot 20 \cdot 21}} = 0,6}$ .
Άρα $\displaystyle{\varepsilon {\varphi ^2}\frac{\chi }{2} = \frac{{1 - \sigma \upsilon \nu \chi }}{{1 + \sigma \upsilon \nu \chi }} = \frac{{1 - 0,6}}{{1 + 0,6}} = \frac{{0,4}}{{1,6}} = \frac{1}{4} \Rightarrow \varepsilon \varphi \frac{\chi }{2} = \frac{1}{2}}$

Εφαρμόζουμε το νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ :
$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu y = \frac{{{{34}^2} + {{21}^2} - \frac{{{a^2}}}{4}}}{{2 \cdot 21 \cdot 34}} = \frac{{15}}{{17}}}$ .
Άρα $\displaystyle{\varepsilon {\varphi ^2}\frac{y}{2} = \frac{{1 - \sigma \upsilon \nu y}}{{1 + \sigma \upsilon \nu y}} = \frac{{1 - \frac{{15}}{{17}}}}{{1 + \frac{{15}}{{17}}}} = \frac{1}{{16}} \Rightarrow \varepsilon \varphi \frac{y}{2} = \frac{1}{4}}$ .

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1964 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1964 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1964 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1964 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1964 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1964 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1964 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1964 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση