ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1964 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Δίνεται κύκλος και χορδή του $\displaystyle{AB}$ . Από τυχαίο σημείο του $\displaystyle{\Gamma}$ άγεται κάθετος στην $\displaystyle{AB }$ . Με κέντρο το $\displaystyle{\Gamma}$ και ακτίνα ίση με το μήκος της καθέτου $\displaystyle{ \Gamma\Delta}$ σχηματίζουμε κύκλο. Από τα σημεία $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ φέρνουμε τις εφαπτόμενες πάνω στον τελευταίο κύκλο, οι οποίες τέμνονται στο σημείο $\displaystyle{E}$ . Ζητείται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων $\displaystyle{E}$ .

2. Έστω $\displaystyle{AB\Gamma}$ δοθέν τρίγωνο και $\displaystyle{E}$ το σημείο τομής των διαμέσων του. Να δειχτεί οτι το άθροισμα των μηκών των τμημάτων που ορίζονται από τις κορυφές του $\displaystyle{A,B,\Gamma}$ και από τις προβολές αυτών αντίστοιχα πάνω σε τυχαία ευθεία $\displaystyle{ZZ΄}$ που δεν τέμνει το τρίγωνο, ισούται με το τριπλάσιο του μήκους του τμήματος που ορίζεται από το $\displaystyle{E}$ και την προβολή του πάνω στην $\displaystyle{ZZ΄ }$ .

3. Με δεδομένο τον λόγο ομοιότητας δυο οποιωνδήποτε όμοιων πολυέδρων, να βρεθεί ο λόγος των πολυέδρων αυτών.

4. Εαν τετράπλευρο έχει δυο απέναντι πλευρές ίσες, τότε η ευθεία που ενώνει τα μέσα των δυο άλλων απέναντι πλευρών του είναι παράλληλη προς την διχοτόμο που σχηματίζεται από τις δυο πρώτες πλευρές.

Σημείωση : Στο 3ο θέμα εικάζω οτι ζητάει τον λόγο των όγκων. Δεν την έχει λυμένη στο Δελτίο του Πάλλα, μάλλον θεωρία ήταν,
παρά μόνο παραπομπή έχει σε βιβλίο του (εμπορικό τρίκ της εποχής

)

orestisgotsis · #2

ΠΕΡΙΤΤΑ

chris · #3

parmenides51 έγραψε:4. Εαν τετράπλευρο έχει δυο απέναντι πλευρές ίσες, τότε η ευθεία που ενώνει τα μέσα των δυο άλλων απέναντι πλευρών του είναι παράλληλη προς την διχοτόμο που σχηματίζεται από τις δυο πρώτες πλευρές.

Εδώ αλλά σίγουρα και αλλού!
Χρησιμοποιείται ως λήμμα πλέον.

#4

parmenides51 έγραψε:1. Δίνεται κύκλος και χορδή του $\displaystyle{AB}$ . Από τυχαίο σημείο του $\displaystyle{\Gamma}$ άγεται κάθετος στην $\displaystyle{AB }$ . Με κέντρο το $\displaystyle{\Gamma}$ και ακτίνα ίση με το μήκος της καθέτου $\displaystyle{ \Gamma\Delta}$ σχηματίζουμε κύκλο. Από τα σημεία $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ φέρνουμε τις εφαπτόμενες πάνω στον τελευταίο κύκλο, οι οποίες τέμνονται στο σημείο $\displaystyle{E}$ . Ζητείται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων $\displaystyle{E}$ .

● Αν το σημείο $\Delta$ είναι εσωτερικό του τμήματος

.
Έστω

ο δοσμένος κύκλος και H, Z

τα σημεία επαφής του κύκλου $(\Gamma,\Gamma\Delta)$ με τις εφαπτόμενες από τα σημεία A, B

αντίστοιχα. Οι εφαπτόμενες τέμνονται σε σημείο

εξωτερικό του κύκλου (O)

. Το τετράπλευρο $\Gamma HEZ$ είναι εγγράψιμο, οπότε:
$\displaystyle{{\rm H}\widehat \Gamma {\rm Z} + \widehat {\rm E} = {180^0} \Leftrightarrow 2(\omega + \varphi ) + \widehat {\rm E} = {180^0} \Leftrightarrow 2{\rm A}\widehat \Gamma {\rm B} + \widehat {\rm E} = {180^0} \Leftrightarrow }$

$\boxed{{\rm A}\widehat {\rm O}{\rm B} + \widehat {\rm E} = {180^0}}$ Άρα και το AOBE

είναι εγγράψιμο, δηλαδή το σημείο

ανήκει στο τόξο χορδής

που δέχεται γωνία παραπληρωματική της $\displaystyle{{\rm A}\widehat {\rm O}{\rm B}}$ .

: ΝΑΥΤ. ΔΟΚΙΜΩΝ 1964.png (18.72 KiB) Προβλήθηκε 1634 φορές

● Αν το σημείο $\Delta$ είναι εξωτερικό του τμήματος

, τότε οι εφαπτόμενες του κύκλου $(\Gamma,\Gamma\Delta)$ τέμνονται σε σημείο εσωτερικό του κύκλου (O)

, οπότε $\displaystyle{{\rm A}\widehat {\rm E}{\rm B} = {\rm A}\widehat {\rm O}{\rm B}}$ και το σημείο

θα ανήκει στο τόξο χορδής

που δέχεται γωνία ίση με $\displaystyle{{\rm A}\widehat {\rm O}{\rm B}}$ .

Επομένως ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου AOB

.

ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1964 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1964 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1964 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1964 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1964 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση