ΟΜΑΔΑ 3 1964 ΑΛΓΕΒΡΑ (ΠΟΛΥΤ.)

parmenides51 · #1

Η ομάδα 3 περιείχε σχολές που άνηκαν στον Πολυτεχνικό Κύκλο μετά.

1. Αν $\displaystyle{\alpha,\beta}$ πραγματικοί αριθμοί με $\displaystyle{ \alpha\beta\ne 0}$ και $\displaystyle{\left|\frac{\alpha}{\beta}\right|- \left|\frac{\beta}{\alpha}\right|<\frac{15}{4}}$ , να δειχθεί οτι $\displaystyle{\left|\frac{5\alpha+16\beta}{4\alpha+20\beta}\right|<1}$

2. Να βρεθούν οι πραγματικοί $\displaystyle{x,y,z}$ από τις σχέσεις $\displaystyle{\begin{cases} z+y+z=0 \\ x^3+y^3+z^3=3xyz \\ xy+yz+zx=\alpha^2 \end{cases} }$ όταν $\displaystyle{\alpha\ne 0}$ και όταν $\displaystyle{ \alpha= 0}$

3. α) Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt[7]{y}=8 \\ \sqrt{x^3}+\sqrt[7]{y^3}=152 \end{cases} }$
β) Να προσδιοριστεί ο $\displaystyle{\lambda}$ ώστε το τριώνυμο $\displaystyle{f(x)=x^2-(\lambda-1)x+\lambda-2}$ να διαιρείται από το $\displaystyle{x-3}$ και να έχει ελάχιστο για $\displaystyle{x=2}$ το $\displaystyle{y=-1}$

Σημείωση: Όπως αναφέρει στο Δελτίο του Πάλλα, στο 1ο θέμα ο περιορισμός $\displaystyle{ \alpha\beta\ne 0}$ είναι περιττός εφόσον προέκυπτε από τα δεδομένα και στο 2ο θέμα η εξίσωση $\displaystyle{ x^3+y^3+z^3=3xyz}$ είναι πλεονασμός.

hlkampel · #2

parmenides51 έγραψε: 3. α) Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt[7]{y}=8 \\ \sqrt{x^3}+\sqrt[7]{y^3}=152 \end{cases} }$
β) Να προσδιοριστεί ο $\displaystyle{\lambda}$ ώστε το τριώνυμο $\displaystyle{f(x)=x^2-(\lambda-1)x+\lambda-2}$ να διαιρείται από το $\displaystyle{x-3}$ και να έχει ελάχιστο για $\displaystyle{x=2}$ το $\displaystyle{y=-1}$

α) Με $x \ge 0$ και $y \ge 0$ αν θέσουμε $\omega = \sqrt x \ge 0$ και $\varphi = \sqrt[7]{y} \ge 0$ το σύστημα γίνεται:

$\left\{ \begin{array}{l} \omega + \varphi = 8\\ {\omega ^3} + {\varphi ^3} = 152 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \omega + \varphi = 8\quad \left( 1 \right)\\ \left( {\omega + \varphi } \right)\left( {{\omega ^2} - \omega \varphi + {\varphi ^2}} \right) = 152\;\left( 2 \right) \end{array} \right.$

Η (2) λόγω της (1) γίνεται:

${\omega ^2} - \omega \varphi + {\varphi ^2} = 19 \Leftrightarrow {\omega ^2} - \omega \left( {8 - \omega } \right) + {\varphi ^2} - 19 = 0 \Leftrightarrow$

$...{\omega ^2} - 8\omega + 15 = 0 \Leftrightarrow \omega = 3\;\dot \eta \;\omega = 5$

Με $\omega = 3$ είναι $\varphi = 5$ οπότε:

$\sqrt x = 3 \Leftrightarrow x = 9$ και $\sqrt[7]{y} = 5 \Leftrightarrow y = {5^7}$

Με $\omega = 5$ είναι $\varphi = 3$ οπότε:

$\sqrt x = 5 \Leftrightarrow x = 25$ και $\sqrt[7]{y} = 3 \Leftrightarrow y = {3^7}$

Άρα οι λύσεις του συστήματος είναι: $\left( {x,y} \right) = \left( {{{9,5}^7}} \right)$ και $\left( {x,y} \right) = \left( {{{25,3}^7}} \right)$ που επαληθεύουν τις εξισώσεις του συστήματος.

β) Αφού το $f\left( x \right)$ διαιρείται με το x - 3

ισχύει:

$\displaystyle{f\left( 3 \right) = 0 \Leftrightarrow 9 - 3\lambda + 3 + \lambda - 2 = 0 \Leftrightarrow \lambda = 5}$

Με $\displaystyle{\lambda = 5}$ το τριώνυμο γίνεται: $f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3$ που ικανοποιεί και την δεύτερη συνθήκη. (μήπως είναι περιττή;)

#3

parmenides51 έγραψε:Η ομάδα 3 περιείχε σχολές που άνηκαν στον Πολυτεχνικό Κύκλο μετά.
1. Αν $\displaystyle{\alpha,\beta}$ πραγματικοί αριθμοί με $\displaystyle{ \alpha\beta\ne 0}$ και $\displaystyle{\left|\frac{\alpha}{\beta}\right|- \left|\frac{\beta}{\alpha}\right|<\frac{15}{4}}$ , να δειχθεί οτι $\displaystyle{\left|\frac{5\alpha+16\beta}{4\alpha+20\beta}\right|<1}$

Έστω $\displaystyle{\left| {\frac{\alpha }{\beta }} \right| = x > 0}$ . Οπότε θα έχουμε:

$\displaystyle{x - \frac{1}{x} < \frac{{15}}{4} \Leftrightarrow 4{x^2} - 15x - 4 < 0 \Leftrightarrow (x - 4)(4x + 1) < 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{X > 0} x < 4}$ . Άρα $\displaystyle{\left| {\frac{\alpha }{\beta }} \right| < 4}$ .

$\displaystyle{\left| {\frac{{5\alpha + 16\beta }}{{4\alpha + 20\beta }}} \right| < 1 \Leftrightarrow \left| {5\alpha + 16\beta } \right| < \left| {4\alpha + 20\beta } \right| \Leftrightarrow {\left| {5\alpha + 16\beta } \right|^2} < {\left| {4\alpha + 20\beta } \right|^2}}$
$\displaystyle{ \Leftrightarrow 25{\alpha ^2} + 160\alpha \beta + 256{\beta ^2} < 6{\alpha ^2} + 160\alpha \beta + 400{\beta ^2}}$
$\displaystyle{ \Leftrightarrow 9{\alpha ^2} < 144{\beta ^2} \Leftrightarrow 3\left| \alpha \right| < 12\left| \beta \right| \Leftrightarrow \left| {\frac{\alpha }{\beta }} \right| < 4}$ που ισχύει.

ArgirisM · #4

parmenides51 έγραψε:2. Να βρεθούν οι πραγματικοί $\displaystyle{x,y,z}$ από τις σχέσεις $\displaystyle{\begin{cases} z+y+z=0 \\ x^3+y^3+z^3=3xyz \\ xy+yz+zx=\alpha^2 \end{cases} }$ όταν $\displaystyle{\alpha\ne 0}$ και όταν $\displaystyle{ \alpha= 0}$

Το συγκεκριμένο θέμα είχε τεθεί αυτούσιο (με την ίδια περιττή συνθήκη) στις εξετάσεις πάλι του ΕΜΠ το 1950 για τους χημικούς μηχανικούς (viewtopic.php?f=46&t=40411). Να και που παλιά ανακυκλώνονταν θέματα...

ΟΜΑΔΑ 3 1964 ΑΛΓΕΒΡΑ (ΠΟΛΥΤ.)

ΟΜΑΔΑ 3 1964 ΑΛΓΕΒΡΑ (ΠΟΛΥΤ.)

Re: ΟΜΑΔΑ 3 1964 ΑΛΓΕΒΡΑ (ΠΟΛΥΤ.)

Re: ΟΜΑΔΑ 3 1964 ΑΛΓΕΒΡΑ (ΠΟΛΥΤ.)

Re: ΟΜΑΔΑ 3 1964 ΑΛΓΕΒΡΑ (ΠΟΛΥΤ.)

Μέλη σε σύνδεση