ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1964 ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\frac{x-\alpha-1}{x-\alpha-2}-\frac{x-\alpha}{x-\alpha-1}=\frac{x-\beta-1}{x-\beta-2}-\frac{x-\beta}{x-\beta-1}}$

2. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} x^2+y^2=100 \\ xy=w \\ x+y=14 \end{cases} }$

3.Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} x(x+y)+y(x-y)=158 \\ 7x(x+y)-72y(x-y)=0 \end{cases} }$

Ωmega Man · #2

Μια γρήγορη λύση για το δεύτερο.

2.
$\displaystyle{x^2+y^2=100\Leftrightarrow x^2+y^2 -2xy+2xy=10^2 \Leftrightarrow (\underbrace{x+y}_{14})^2 -2 xy=10^2\Leftrightarrow 14^2-2xy=10^2 \Leftrightarrow 2xy = 14^2-10^2\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ 2xy= (14-10)(14+10)\Leftrightarrow 2xy=4\cdot 24\Leftrightarrow xy=48}$ , έτσι λοιπόν w=48 και η τομή της ευθείας y=14-x με τον κύκλο κέντρου (0,0) και ακτίνας 10 είναι τα σημεία (6,8) και (8,6). Άρα $\displaystyle{(x,y,w)=(6,8,48)\bigvee(8,6,48)}$ .

#3

parmenides51 έγραψε: 2. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} x^2+y^2=100 \\ xy=w \\ x+y=14 \end{cases} }$

Για το $\displaystyle{\omega }$ η λύση είναι όπως και παραπάνω:
$\displaystyle{{x^2} + {y^2} = {(x + y)^2} - 2xy \Leftrightarrow 100 = 196 - 2\omega \Leftrightarrow \omega = 48.}$

Αφού $\displaystyle{x + y = 14}$ και $\displaystyle{xy = 48}$ , οι αριθμοί x,y

είναι ρίζες της εξίσωσης:
$\displaystyle{{z^2} - 14z + 48 = 0 \Leftrightarrow {z_1} = 6,{z_2} = 8}$
Άρα ( x=6, y=8

) ή (

).

#4

parmenides51 έγραψε:1. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\frac{x-\alpha-1}{x-\alpha-2}-\frac{x-\alpha}{x-\alpha-1}=\frac{x-\beta-1}{x-\beta-2}-\frac{x-\beta}{x-\beta-1}}$

Θέτω $\displaystyle{x - \alpha - 2 = y}$ και $\displaystyle{x - \beta - 2 = z}$ , οπότε η εξίσωση γράφεται:

$\displaystyle{\frac{{y + 1}}{y} - \frac{{y + 2}}{{y + 1}} = \frac{{z + 1}}{z} - \frac{{z + 2}}{{z + 1}} \Leftrightarrow 1 + \frac{1}{y} - 1 - \frac{1}{{y + 1}} = 1 + \frac{1}{z} - 1 - \frac{1}{{z + 1}}}$

$\displaystyle{\frac{1}{y} - \frac{1}{{y + 1}} = \frac{1}{z} - \frac{1}{{z + 1}}}$ με $\displaystyle{y \ne 0,y \ne - 1,z \ne 0,z \ne - 1}$ .

$\displaystyle{\frac{1}{{{y^2} + y}} = \frac{1}{{{z^2} + z}} \Leftrightarrow (y - z)(y + z + 1) = 0 \Leftrightarrow y = z}$ ή $\displaystyle{y + z + 1 = 0}$ .

Αν $\displaystyle{y = z}$ τότε προκύπτει ότι $\displaystyle{a = \beta }$ και η εξίσωση ισχύει για κάθε $\displaystyle{x \in R - \left\{ {a + 1,a + 2} \right\}}$

Αν $\displaystyle{y + z + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{a + \beta + 3}}{2}}$ και λόγω των περιορισμών $\displaystyle{a - \beta \ne \pm 1}$ .

Paolos · #5

Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\frac{x-\alpha-1}{x-\alpha-2}-\frac{x-\alpha}{x-\alpha-1}=\frac{x-\beta-1}{x-\beta-2}-\frac{x-\beta}{x-\beta-1}}$

Μια παρόμοια λύση
Θέτουμε
$\displaystyle{x-a=k\,\,\,,\,\,\,x-b=m}$ .
Η αρχική εξίσωση γίνεται:
$\displaystyle{\frac{k-1}{k-2}-\frac{k}{k-1}=\frac{m-1}{m-2}-\frac{m}{m-1}}$
$\displaystyle{\frac{{{\left( k-1 \right)}^{2}}-k(k-2)}{\left( k-1 \right)\left( k-2 \right)}=\frac{{{\left( m-1 \right)}^{2}}-m(m-2)}{\left( m-1 \right)\left( m-2 \right)}}$
$\displaystyle{\frac{1}{\left( k-1 \right)\left( k-2 \right)}=\frac{1}{\left( m-1 \right)\left( m-2 \right)}}$
$\displaystyle{\left( k-1 \right)\left( k-2 \right)=\left( m-1 \right)\left( m-2 \right)}$
$\displaystyle{{{k}^{2}}-{{m}^{2}}=3(k-m)}$
$\displaystyle{(k-m)(k+m-3)=0}$
$\displaystyle{k=m\vee k+m-3=0}$ .

Από τη σχέση $\displaystyle{k=m}$ προκύπτει ότι $\displaystyle{a=b}$ και η αρχική εξίσωση είναι αόριστη, για $\displaystyle{x\ne a+1,a+2.}$

Από τη σχέση $\displaystyle{k+m-3=0}$ προκύπτει ότι $\displaystyle{x=\frac{a+b+3}{2}}$ .

#6

parmenides51 έγραψε:
3.Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} x(x+y)+y(x-y)=158 \\ 7x(x+y)-72y(x-y)=0 \end{cases} }$

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι $\displaystyle{y \ne 0}$ .
Θέτω $\displaystyle{x = ay}$ και η δεύτερη εξίσωση του συστήματος γράφεται:

$\displaystyle{7a{y^2}(a + 1) = 72{y^2}(a - 1) \Leftrightarrow 7{a^2} - 65a + 72 = 0}$ .
Άρα $\displaystyle{a = 8}$ ή $\displaystyle{a = \frac{9}{7}}$ .

Για $\displaystyle{a = 8}$ , είναι $\displaystyle{x = 8y}$ και αντικαθιστώντας στην πρώτη εξίσωση βρίσκουμε:

$\displaystyle{79{y^2} = 158 \Leftrightarrow y = \pm \sqrt 2 }$ . Έχουμε λοιπόν τις λύσεις:

$\displaystyle{(x,y) = \left( {8\sqrt 2 ,\sqrt 2 } \right),y\left( { - 8\sqrt 2 , - \sqrt 2 } \right)}$

Για $\displaystyle{a = \frac{9}{7}}$ , είναι $\displaystyle{x = \frac{9}{7}y}$ και η πρώτη εξίσωση δίνει $\displaystyle{y = \pm 7}$ , οπότε βρίσκουμε τις λύσεις

$\displaystyle{(x,y) = (9,7),( - 9, - 7)}$

Paolos · #7

3.Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} x(x+y)+y(x-y)=158 \\ 7x(x+y)-72y(x-y)=0 \end{cases} }$

$\displaystyle{x(x+y)+y(x-y)=158\,\,\,\,(1)}$
$\displaystyle{7x(x+y)-72y(x-y)=0\,\,\,\,(2)}$

Πολλαπλασιάζουμε την $\displaystyle{(1)}$ με $\displaystyle{-7}$

$\displaystyle{-7x(x+y)-7y(x-y)=-7\cdot 158\,\,\,\,(3)}$ .

Από $\displaystyle{(2)+(3)\Rightarrow -79y(x-y)=-7\cdot 158\Rightarrow y(x-y)=14.}$

Πολλαπλασιάζουμε την $\displaystyle{(1)}$ με $\displaystyle{72}$ και προσθέτουμε το αποτέλεσμα στην $\displaystyle{(2)}$ .
Προκύπτει:
$\displaystyle{x(x+y)=144.}$

Έτσι έχουμε:
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} x(x + y) = 144\\ y(x - y) = 14 \end{array} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} xy + {x^2} = 144\\ xy - {y^2} = 14 \end{array} \right\} \Rightarrow 14 + {y^2} = 144 - {x^2} \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 130 \Rightarrow }$

$\displaystyle{{{(x+y)}^{2}}-2xy=130\Rightarrow {{\left( \frac{144}{x} \right)}^{2}}-2\left( 144-{{x}^{2}} \right)=130\Rightarrow {{x}^{4}}-209{{x}^{2}}+10368=0}$ .
Λύνοντας τη διτετράγωνη εξίσωση βρίσκουμε
$\displaystyle{\left( {{x}^{2}}=128\vee {{x}^{2}}=81 \right)\Rightarrow \left( {{y}^{2}}=2\vee {{y}^{2}}=49 \right).}$
Από τη σχέση $\displaystyle{y(x-y)=14\Rightarrow xy={{y}^{2}}+14>0\Rightarrow x,y}$ ομόσημα.
Άρα
$\displaystyle{(x,y)=(8\sqrt{2},\sqrt{2})\vee (-8\sqrt{2},-\sqrt{2})\vee (9,7)\vee (-9,-7).}$

Paolos · #8

Γιώργο καλημέρα.
Ίσως κάπου διαφέρουν τα αποτελέσματά μας.
Θα την ξανακοιτάξω όταν βρω χρόνο..

#9

Paolos έγραψε:Γιώργο καλημέρα.
Ίσως κάπου διαφέρουν τα αποτελέσματά μας.
Θα την ξανακοιτάξω όταν βρω χρόνο..

Καλημέρα,
Εσύ σωστά το βρήκες.Εγώ πρέπει να έχω κάνει λάθος.
Θα κοιτάξω να το διορθώσω.

ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1964 ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1964 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1964 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1964 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1964 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1964 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1964 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1964 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1964 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1964 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση