ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1964 ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. Να βρεθεί η φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος της οποίας
ο πρώτος όρος όταν αφαιρεθεί από το άθροισμα των άπειρων όρων της δίνει διαφορά $\displaystyle{1}$
και ο λόγος της όταν προστεθεί στο άθροισμα των άπειρων όρων της δίνει άθροισμα $\displaystyle{2,5}$ .

2. Αν η μία από τις ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{x^2+\beta x+\gamma=0}$ είναι το τετράγωνο της άλλης,
να αποδειχθεί οτι τα $\displaystyle{\beta}$ και $\displaystyle{\gamma}$ συνδέονται μέσω της σχέσης $\displaystyle{\beta^3-\gamma(3\beta-1)+\gamma^2=0}$ .

3. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\frac{12}{5}\cdot \frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}=x+\frac{1}{x}}$

4. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} x^2+y^2+x+y=4 \\ x^2y^2+xy(x+y)+xy=4 \end{cases} }$

edit
διόρθωση αρίθμησης

Tolaso J Kos · #2

parmenides51 έγραψε:1. Να βρεθεί η φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος της οποίας
ο πρώτος όρος όταν αφαιρεθεί από το άθροισμα των άπειρων όρων της δίνει διαφορά $\displaystyle{1}$
και ο λόγος της όταν προστεθεί στο άθροισμα των άπειρων όρων της δίνει άθροισμα $\displaystyle{2,5}$ .

Έστω $\displaystyle{\lambda }$ o λόγος της προόδου. Τότε το άθροισμα των απείρων όρων της δίνεται του τύπου: $\displaystyle{\sum =\frac{a_1}{1-\lambda }}$ .
Σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε:
$\displaystyle{\sum -a_1=1\Leftrightarrow \frac{a_1}{1-\lambda }-a_1=1\, \, \, \, (1)}$ και $\displaystyle{\sum +\lambda =\frac{5}{2}\Leftrightarrow \frac{a_1}{1-\lambda }+\lambda =\frac{5}{2}\, \, \, \, (2)}$

Λύνοντας το σύστημα που ορίζουν οι σχέσεις (1)

και

έχουμε: $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \displaystyle{ a_1=1& \lambda =\frac{1}{2}} & \\ \displaystyle{ a_1=-\frac{1}{2}&\lambda =2} & \end{matrix}\right.}$

Όμως η πρόοδος είναι φθίνουσα αρά δεκτή γίνεται μόνο οι τιμές $\displaystyle{a_1=1, \, \, \, \lambda =\frac{1}{2}}$ .

Και η λύση του συστήματος:
$\displaystyle{(+)\begin{cases} \displaystyle{\frac{a_1}{1-\lambda }-a_1=1}& \\ \displaystyle{ \frac{a_1}{1-\lambda }+\lambda =\frac{5}{2}\, \, \, \, \, \, \cdot (-1)}& \end{cases}\Rightarrow -a_1-\lambda =1-\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}\Leftrightarrow a_1+\lambda =\frac{3}{2}\, \, \, \, (3)}$

Από την $\displaystyle{(3)}$ έχουμε: $\displaystyle{a_1=\frac{3}{2}-\lambda }$ . Συνεπώς η $\displaystyle{(2)}$ γίνεται:
$\displaystyle{\overset{(3)\rightarrow (2)}{\Rightarrow }\displaystyle{\frac{\frac{3}{2}-\lambda }{1-\lambda }+\lambda =\frac{5}{2}\Leftrightarrow \frac{3-2\lambda }{2\left ( 1-\lambda \right )}+\lambda =\frac{5}{2}}}$ $\displaystyle{\Rightarrow \frac{3-2\lambda }{2-2\lambda }+\frac{2(1-\lambda )\lambda }{(2-2\lambda )}=\frac{5}{2}\Rightarrow \frac{3-2\lambda +2\lambda -2\lambda ^2}{2-2\lambda }=\frac{5}{2}\Rightarrow 6-4\lambda ^2=10-10\lambda \Rightarrow }$
$\displaystyle{\Rightarrow 4\lambda ^2-10\lambda +4=0}$

Η τελευταία εξίσωση είναι τριώνυμο με $\displaystyle{\Delta =100-64=36}$ και κατά συνέπεια οι ρίζες του είναι $\displaystyle{\begin{cases} \lambda =2& \\ \displaystyle{ \lambda =\frac{1}{2}}& \end{cases}}$

Με αντικατάσταση παίρνουμε ότι a_1=1, a_1=-1/2

.

Τόλης

Edit: Συμπληρώθηκε η λύση του συστήματος

Ηλίας Θ. · #3

parmenides51 έγραψε:2. Αν η μία από τις ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{x^2+\beta x+\gamma=0}$ είναι το τετράγωνο της άλλης,
να αποδειχθεί οτι τα $\displaystyle{\beta}$ και $\displaystyle{\gamma}$ συνδέονται μέσω της σχέσης $\displaystyle{\beta^3-\gamma(3\beta-1)+\gamma^2=0}$ .

Έστω

η μία ρίζα της εξισώσεως. Η άλλη θα είναι k^2

. Από τους τύπους Vieta θα έχουμε: $P=k^3=\gamma\;\;(1)$ και
$S=k+k^2=-\beta \Rightarrow (k^2+k)^3=(-\beta)^3 \Rightarrow k^6+3k^5+3k^4+k^3=-\beta ^3$
$\Rightarrow (k^3)^2+k^3[3(k^2+k)+1]=-\beta ^3$
Αντικαθιστώντας από την (1)

και το $S=k^2+k=-\beta$ θα έχουμε:
$\gamma^2+\gamma(-3\beta+1)=-\beta^3 \Rightarrow \beta^3-\gamma(3\beta-1)+\gamma^2=0$

kostas_zervos · #4

parmenides51 έγραψε: 3. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\frac{12}{5}\cdot \frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}=x+\frac{1}{x}}$

Πρέπει $x\neq 0$ και $x\neq \dfrac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$ .

Έχουμε $\dfrac{12}{5}\cdot \dfrac{x^2+x+1}{x^2-x+1}=x+\dfrac{1}{x}\iff \dfrac{12}{5}\cdot \dfrac{x+1+\dfrac{1}{x}}{x-1+\dfrac{1}{x}}=x+\dfrac{1}{x}$ και θέτοντας

$y=x+\dfrac{1}{x}$ έχουμε

$\dfrac{12}{5}\dfrac{y+1}{y-1}=y\iff 12y+12=5y^2-5y\iff 5y^2-17y-12=0\iff y=4$ ή $y=-\dfrac{3}{5}$ .

Για y=4

, έχουμε $x+\dfrac{1}{x}=4\iff x^2-4x+1=0\iff x=2\pm\sqrt{3}$ .

Για $y=-\dfrac{3}{5}$ , έχουμε $x+\dfrac{1}{x}=-\dfrac{3}{5}\iff 5x^2+3x+5=0\iff x=\dfrac{-3\pm i\sqrt{91}}{10}$ .

Paolos · #5

Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} x^2+y^2+x+y=4 \\ x^2y^2+xy(x+y)+xy=4 \end{cases} }$

Ας ονομάσουμε $\displaystyle{{{x}^{2}}{{y}^{2}}+xy(x+y)+xy=4\,\,\,\,(1)}$ ,
$\displaystyle{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x+y=4\,\,\,\,(2)\Rightarrow \,{{(x+y)}^{2}}-2xy+(x+y)=4\,\,\,\,(3).}$
Θέτουμε $\displaystyle{x+y=a\Rightarrow {{(x+y)}^{2}}={{a}^{2}}\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy={{a}^{2}}\overset{(2)}{\mathop{\Rightarrow }}\,{{a}^{2}}-2xy+a=4\Rightarrow xy=\frac{{{a}^{2}}+a-4}{2}.}$
Άρα η σχέση $\displaystyle{(1)}$ γίνεται:
$\displaystyle{{{\left( \frac{{{a}^{2}}+a-4}{2} \right)}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}+a-4}{2}\cdot a+\frac{{{a}^{2}}+a-4}{2}=4}$
$\displaystyle{{{\left( {{a}^{2}}+a-4 \right)}^{2}}+2\left( {{a}^{3}}+{{a}^{2}}-4a \right)+2\left( {{a}^{2}}+a-4 \right)=16}$
$\displaystyle{{{a}^{4}}+{{a}^{2}}+16+2{{a}^{3}}-8{{a}^{2}}-8a+2{{a}^{3}}+2{{a}^{2}}-8a+2{{a}^{2}}+2a-8-16=0}$
$\displaystyle{{{a}^{4}}+4{{a}^{3}}-3{{a}^{2}}-14a-8=0}$ .
Σχήμα Horner με το $\displaystyle{2}$ :
$\displaystyle{{{a}^{4}}+4{{a}^{3}}-3{{a}^{2}}-14a-8=(a-2)({{a}^{3}}+6{{a}^{2}}+9a+4)=0}$
Σχήμα Horner με το $\displaystyle{-1}$ :
$\displaystyle{{{a}^{3}}+6{{a}^{2}}+9a+4=(a-2)(a+1)({{a}^{2}}+5a+4)}$ .
Το τριώνυμο $\displaystyle{{{a}^{2}}+5a+4}$ έχει ρίζες τους αριθμούς $\displaystyle{-4,-1}$ .
Άρα
$\displaystyle{{{a}^{4}}+4{{a}^{3}}-3{{a}^{2}}-14a-8=0\Leftrightarrow (a-2)(a+1)(a+1)(a+4)=0\Leftrightarrow a=2\vee a=-1\vee a=-4}$ .
Αν $\displaystyle{a=2\Rightarrow x+y=2\overset{(3)}{\mathop{\Rightarrow }}\,4-2x(2-x)+2-4=0\Rightarrow {{x}^{2}}-2x+1=0\Rightarrow x=1.}$
Άρα $\displaystyle{x=1,y=1.}$
Αν $\displaystyle{a=-1\Rightarrow x+y=-1\overset{(3)}{\mathop{\Rightarrow }}\,1-2x(-1-x)-1-4=0\Rightarrow {{x}^{2}}+x-2=0\Rightarrow x=1\vee x=-2.}$
Άρα $\displaystyle{\left( x=1,y=-2 \right)\vee \left( x=-2,y=1 \right).}$
Αν $\displaystyle{a=-4\Rightarrow x+y=-4\overset{(3)}{\mathop{\Rightarrow }}\,16-2x(-4-x)-8=0\Rightarrow {{x}^{2}}+4x+4=0\Rightarrow x=-2.}$
Άρα $\displaystyle{x=-2,y=-2.}$

ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1964 ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1964 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1964 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1964 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1964 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1964 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση