ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΤΥΠΟΥ Β 1965 ΑΛΓΕΒΡΑ (ΠΟΛ-ΦΥΣ-ΓΕΩΔ) (επαναληπτ.)

parmenides51 · #1

Οι σχολές του ακαδημαϊκού απολυτηρίου τύπου B που εξετάστηκαν τότε στα μαθηματικά,
άνηκαν μετά στον Πολυτεχνικό, Φυσικομαθηματικό και Γεωπονοδασολογικό Κύκλο .
Οι κανονικές εξετάσεις ακυρώθηκαν λόγω λάθους θέματος.
Τα θέματα αυτά είναι των επαναληπτικών εξετάσεων.

1. Τι είναι γεωμετρική πρόοδος; Βάσει του ορισμού της,
υπάρχει γεωμετρική πρόοδος με περισσότερους από τρεις όρους, της οποίας οι όροι τάξης $\displaystyle{3\nu+1,3\nu+2,3\nu+3}$
να ισούνται αντίστοιχα προς τον πρώτο, δεύτερο και τρίτο όρο της προόδου για κάθε φυσικό $\displaystyle{\nu}$ ;

2. Εαν $\displaystyle{\alpha,x,y,z}$ μιγαδικοί (γενικά) , $\displaystyle{x,y,z}$ διαφορετικοί μεταξύ τους και ισχύουν οι ισότητες
$\displaystyle{x^3+y^3+\alpha(x^2+y^2)=y^3+z^3+\alpha(y^2+z^2)=z^3+x^3+\alpha(z^2+x^2)}$
τότε να δειχθεί οτι θα ισχύει και $\displaystyle{x^3+y^3+\alpha(x^2+y^2)=2xyz }$

3. α) Να δειχθεί οτι για κάθε πραγματικό αριθμό ισχύει η ανισότητα $\displaystyle{f(x)=|x-{\color{red}2}|+|2x-1|\ge \frac{3}{2}}$ . Πότε ισχύει το ίσον;
β) Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)}$
γ) Εαν $\displaystyle{x_1\ge 2}$ και $\displaystyle{x_1+x_2=2}$ , να δειχθεί η ισότητα $\displaystyle{f(x_1)=f(x_2)}$

edit
Διόρθωση στο 3ο,

, ευχαριστώ τον Γιώργο (Απόκη) που πρόσεξε οτι κάτι δεν πήγαινε καλά

#2

parmenides51 έγραψε: 3. α) Να δειχθεί οτι για κάθε πραγματικό αριθμό ισχύει η ανισότητα $\displaystyle{f(x)=|x-1|+|2x-1|\ge \frac{\color{red}{1}}{2}}$ . Πότε ισχύει το ίσον;

Είναι

$\displaystyle{\rm f(x)=|x-1|+\left|x-\frac{1}{2} \right|+\left|x-\frac{1}{2} \right|\geq \left|x-1-(x-\frac{1}{2}) \right|+\left|x-\frac{1}{2} \right|=\frac{1}{2}+\left|x-\frac{1}{2} \right|\geq \frac{1}{2}}$

και η ισότητα ισχύει όταν $\displaystyle{x=\frac{1}{2}.}$

ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΤΥΠΟΥ Β 1965 ΑΛΓΕΒΡΑ (ΠΟΛ-ΦΥΣ-ΓΕΩΔ) (επαναληπτ.)

ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΤΥΠΟΥ Β 1965 ΑΛΓΕΒΡΑ (ΠΟΛ-ΦΥΣ-ΓΕΩΔ) (επαναληπτ.)

Re: ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΤΥΠΟΥ Β 1965 ΑΛΓΕΒΡΑ (ΠΟΛ-ΦΥΣ-ΓΕΩΔ) (επαναληπ

Μέλη σε σύνδεση