ΜΑΡΑΣΛΕΙΟΣ ΑΡΡΕΝΩΝ 1964 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

Το πλήρες όνομα είναι Μαράσλειος Αρρένων Παιδαγωγική Ακαδημία. Στις Παιδαγωγικές Ακαδημίες τότε εξετάζονται σε 4 αντικείμενα Μαθηματικών, σε Άλγεβρα, Πρακτική Αριθμητική, Θεωρητική Γεωμετρία και Πρακτική Γεωμετρία.

1. Σε παραλληλόγραμμο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ προεκτείνουμε τις πλευρές του κυκλικά και
παίρνουμε τα σημεία $\displaystyle{BA'=BA,\Gamma B'=\Gamma B, \Delta \Gamma '=\Delta \Gamma, A\Delta '=A\Delta}$ .
Να δειχτεί οτι το $\displaystyle{A'B'\Gamma'\Delta'}$ είναι παραλληλόγραμμο.

2. Σε κύκλο κέντρου $\displaystyle{O}$ και ακτίνας $\displaystyle{OA=p}$ σχεδιάζουμε με διάμετρο την $\displaystyle{OA}$ κύκλο κέντρου $\displaystyle{K}$ .
Από το $\displaystyle{O}$ φέρνουμε ημιευθεία, η οποία τέμνει τον κύκλο $\displaystyle{O}$ στο $\displaystyle{B}$ και τον κύκλο $\displaystyle{K}$ στο $\displaystyle{\Gamma}$ .
Να δειχτεί οτι το τόξο $\displaystyle{AB}$ έχει το ίδιο μήκος με το τόξο $\displaystyle{A\Gamma}$ .

Γιώργος Απόκης · #2

parmenides51 έγραψε: 1. Σε παραλληλόγραμμο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ προεκτείνουμε τις πλευρές του κυκλικά και
παίρνουμε τα σημεία $\displaystyle{BA'=BA,\Gamma B'=\Gamma B, \Delta \Gamma '=\Delta \Gamma, A\Delta '=A\Delta}$ .
Να δειχτεί οτι το $\displaystyle{A'B'\Gamma'\Delta'}$ είναι παραλληλόγραμμο.

Οι γωνίες $\displaystyle{\hat A_1,\hat B_1,\hat \Gamma_1,\hat \Delta_1}$ είναι παραπληρωματικές των γωνιών του παραλληλογράμμου, άρα θα ισχύει $\displaystyle{\hat A_1=\hat \Gamma_1,~\hat B_1=\hat \Delta_1}$ .

Τα τρίγωνα $\displaystyle{AA'\Delta,~\Gamma \Gamma ' B}$ είναι ίσα αφού έχουν $\displaystyle{A\Delta'=\Gamma B',AA'=\Gamma \Gamma',\hat A_1=\hat \Gamma_1}$ άρα θα έχουμε : $\displaystyle{A'\Delta'=B'\Gamma'}$ .

Ομοίως προκύπτει $\displaystyle{A'B'=\Gamma'\Delta'}$ , άρα το $\displaystyle{A'B'\Gamma'\Delta'}$ έχει τις απέναντι πλευρές ίσες, δηλαδή είναι παραλληλόγραμμο.

Γιώργος Απόκης · #3

parmenides51 έγραψε:2. Σε κύκλο κέντρου $\displaystyle{O}$ και ακτίνας $\displaystyle{OA=p}$ σχεδιάζουμε με διάμετρο την $\displaystyle{OA}$ κύκλο κέντρου $\displaystyle{K}$ .
Από το $\displaystyle{O}$ φέρνουμε ημιευθεία, η οποία τέμνει τον κύκλο $\displaystyle{O}$ στο $\displaystyle{B}$ και τον κύκλο $\displaystyle{K}$ στο $\displaystyle{\Gamma}$ .
Να δειχτεί οτι το τόξο $\displaystyle{AB}$ έχει το ίδιο μήκος με το τόξο $\displaystyle{A\Gamma}$ .

Έστω $\displaystyle{\widehat{\Gamma O K}=\omega}$ . Τότε $\displaystyle{\widehat{\Gamma K A}=2\omega}$ (επίκεντρη και εγγεγραμμένη στο τόξο $\displaystyle{\overset\frown{A\Gamma} }$ του κύκλου $\displaystyle{K}$ ). Επομένως

$\displaystyle{l_{\overset\frown{AB} }=\frac{\pi \cdot p\cdot \omega}{180^o}}$ και $\displaystyle{l_{\overset\frown{A\Gamma} }=\frac{\pi \cdot\frac{ p}{2}\cdot 2\omega}{180^o}=\frac{\pi \cdot p\cdot \omega}{180^o}=l_{\overset\frown{AB} }}$

ΜΑΡΑΣΛΕΙΟΣ ΑΡΡΕΝΩΝ 1964 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΜΑΡΑΣΛΕΙΟΣ ΑΡΡΕΝΩΝ 1964 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΜΑΡΑΣΛΕΙΟΣ ΑΡΡΕΝΩΝ 1964 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΜΑΡΑΣΛΕΙΟΣ ΑΡΡΕΝΩΝ 1964 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση