ΡΑΛΛΕΙΟΣ 1964 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

Το πλήρες όνομα είναι Ράλλειος Παιδαγωγική Ακαδημία . Στις Παιδαγωγικές Ακαδημίες τότε εξετάζονται σε 4 αντικείμενα Μαθηματικών, σε Άλγεβρα, Πρακτική Αριθμητική, Θεωρητική Γεωμετρία και Πρακτική Γεωμετρία.

1. Δίνεται κύκλος $\displaystyle{K}$ και δυο κάθετες χορδές του $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{\Gamma \Delta}$ τέμνονται στο σημείο $\displaystyle{O}$ .
Να δειχτεί οτι η κάθετος $\displaystyle{OE}$ της $\displaystyle{\color{red}B\Gamma}}$ διέρχεται από το μέσον του $\displaystyle{A\Delta}$ .

2. Σε ευθεία $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ θεωρούμε $\displaystyle{4}$ σημεία $\displaystyle{A,B ,\Gamma, \Delta}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{AB=B\Gamma= \Gamma\Delta}$ .
Κατασκευάζουμε πάνω στην $\displaystyle{B\Gamma}$ παραλληλόγραμμο $\displaystyle{B\Gamma E Z}$ ώστε να είναι $\displaystyle{(\Gamma E)= 2 (B\Gamma)}$
και φέρνουμε τις ευθείες $\displaystyle{AE}$ και $\displaystyle{\Delta Z}$ . Να δειχτεί οτι οι $\displaystyle{AE}$ και $\displaystyle{\Delta Z}$ είναι κάθετες.

edit
Συμπλήρωση φράσης στο 1ο, ευχαριστώ τον Γιώργη Kαλαθάκη (exdx) που το πρόσεξε

hlkampel · #2

parmenides51 έγραψε: 2. Σε ευθεία $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ θεωρούμε $\displaystyle{4}$ σημεία $\displaystyle{A,B ,\Gamma, \Delta}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{AB=B\Gamma= \Gamma\Delta}$ .
Κατασκευάζουμε πάνω στην $\displaystyle{B\Gamma}$ παραλληλόγραμμο $\displaystyle{B\Gamma E Z}$ ώστε να είναι $\displaystyle{(\Gamma E)= 2 (B\Gamma)}$
και φέρνουμε τις ευθείες $\displaystyle{AE}$ και $\displaystyle{\Delta Z}$ . Να δειχτεί οτι οι $\displaystyle{AE}$ και $\displaystyle{\Delta Z}$ είναι κάθετες.

Έστω ${\rm A}{\rm B} = {\rm B}\Gamma = \Gamma \Delta = {\rm E}{\rm Z} = \alpha$ , $\Gamma {\rm E} = {\rm B}{\rm Z} = 2\alpha$ , οι $\Gamma {\rm E},\;\Delta {\rm Z}$ τέμνονται στο ${\rm K}$ και οι ${\rm A}{\rm E},\;{\rm B}{\rm Z}$ τέμνονται στο $\Lambda$ .

Τα τρίγωνα ${\rm A}{\rm B}\Lambda$ και $\Lambda {\rm Z}{\rm E}$ είναι ίσα αφού ${\rm A}{\rm B} = {\rm Z}{\rm E} = \alpha$ , $\widehat {{\rm A}{\rm B}\Lambda } = \widehat {\Lambda {\rm Z}{\rm E}}$ (εντός εναλλάξ) και $\widehat {{\rm B}\Lambda {\rm A}} = \widehat {{\rm Z}\Lambda {\rm E}}$ (κατακορυφήν).

Οπότε και $\displaystyle\Lambda {\rm Z} = \Lambda {\rm B} = \frac{{{\rm B}{\rm Z}}}{2} = \alpha$

Με το ίδιο τρόπο αποδεικνύεται ότι τα τρίγωνα $\Gamma \Delta {\rm K}$ και ${\rm Z}{\rm K}{\rm E}$ είναι ίσα έτσι $\widehat {{\rm K}{\rm Z}{\rm E}} = \widehat {\Gamma \Delta {\rm K}}\;\left( 1 \right)$

Το τρίγωνο ${\rm B}\Delta {\rm Z}$ είναι ισοσκελές αφού ${\rm B}\Delta = {\rm B}{\rm Z} = 2\alpha$ , οπότε $\widehat {{\rm B}{\rm Z}\Delta } = \widehat {\Gamma \Delta {\rm K}}\;\left( 2 \right)$

Από τις (1), (2) συμπεραίνουμε ότι $\widehat {{\rm B}{\rm Z}\Delta } = \widehat {{\rm K}{\rm Z}{\rm E}}$ δηλαδή στο ισοσκελές τρίγωνο $\Lambda {\rm Z}{\rm E}$ ( $\Lambda {\rm Z} = \Lambda {\rm E} = \alpha$ ) το ${\rm Z}{\rm H}$ είναι διχοτόμος, άρα και ύψος.

Έτσι ${\rm A}{\rm E} \bot \Delta {\rm Z}$

hlkampel · #3

parmenides51 έγραψε:1. Δίνεται κύκλος $\displaystyle{K}$ και δυο κάθετες χορδές του $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{\Gamma \Delta}$ τέμνονται στο σημείο $\displaystyle{O}$ .
Να δειχτεί οτι η κάθετος $\displaystyle{OE}$ της $\displaystyle{\color{red}B\Gamma}}$ διέρχεται από το μέσον του $\displaystyle{A\Delta}$ .

Είναι $\widehat {\rm B} = \widehat \Delta = \varphi$ (1) ως εγγεγραμμένες στο τόξο ${\rm A}\Gamma$ .

$\widehat {\Gamma {\rm O}{\rm E}} = \widehat {\rm B} = \varphi$ (2) ως οξείες με κάθετες πλευρές.

$\widehat {\Delta {\rm O}{\rm Z}} = \widehat {\Gamma {\rm O}{\rm E}} = \varphi$ (3) ως κατακορυφήν.

Από (1), (2), (3) συμπεραίνουμε ότι $\widehat {\Delta {\rm O}{\rm Z}} = \widehat \Delta = \varphi$ δηλαδή το τρίγωνο $\Delta {\rm Z}{\rm O}$ είναι ισοσκελές οπότε ${\rm O}{\rm Z} = \Delta {\rm Z}$ (4) .

Από το ορθ. τρίγωνο $\Delta {\rm O}{\rm A}$ είναι $\widehat {\rm A} = 90^\circ - \varphi$ .

$\widehat {{\rm Z}{\rm O}{\rm A}} + \widehat {{\rm Z}{\rm O}\Delta } = 90^\circ \Rightarrow \widehat {{\rm Z}{\rm O}{\rm A}} = 90^\circ - \varphi$ .

Άρα $\widehat {{\rm Z}{\rm O}{\rm A}} = \widehat {\rm A}$ δηλαδή το τρίγωνο ${\rm Z}{\rm O}{\rm A}$ είναι ισοσκελές οπότε ${\rm O}{\rm Z} = {\rm A}{\rm Z}$ (5)

Από (4), (5) είναι $\Delta {\rm Z} = {\rm A}{\rm Z}$ δηλαδή το ${\rm Z}$ είναι μέσο της ${\rm A}\Delta$ .

ΡΑΛΛΕΙΟΣ 1964 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΡΑΛΛΕΙΟΣ 1964 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΡΑΛΛΕΙΟΣ 1964 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΡΑΛΛΕΙΟΣ 1964 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση