ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1975 ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. Να υπολογισθεί το άθροισμα $\displaystyle{\Sigma=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 4}+\frac{1}{3\cdot 5}+...+\frac{1}{\nu \cdot (\nu+2)}}$

2. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} x+y=9 \\ \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=3 \end{cases} }$

3. Αν ο όρος που κατέχει την $\displaystyle{\nu}$ τάξη σε αριθμητική πρόοδο είναι $\displaystyle{\alpha}$ , ο όρος που κατέχει την $\displaystyle{\mu}$ τάξη είναι $\displaystyle{\beta}$
και ο όρος που κατέχει την $\displaystyle{\rho}$ τάξη είναι $\displaystyle{\gamma}$ , να δειχθεί οτι $\displaystyle{(\mu-\rho)\alpha+(\rho-\nu)\beta+(\nu-\mu)\gamma=0}$

#2

parmenides51 έγραψε:1. Να υπολογισθεί το άθροισμα $\displaystyle{\Sigma=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 4}+\frac{1}{3\cdot 5}+...+\frac{1}{\nu \cdot (\nu+2)}}$

$\displaystyle{\Sigma = \frac{1}{{1\cdot2}} + \frac{1}{{2\cdot4}} + \frac{1}{{3\cdot5}} + ... + \frac{1}{{\nu \cdot(\nu + 2)}} \Leftrightarrow 2 \cdot \Sigma = \frac{2}{{1\cdot2}} + \frac{2}{{2\cdot4}} + \frac{2}{{3\cdot5}} + ... + \frac{2}{{\nu \cdot(\nu + 2)}}}$
Όμως

$\displaystyle{\,\,\,\frac{2}{{\nu \cdot(\nu + 2)}} = \frac{{\nu + 2 - \nu }}{{\nu \cdot(\nu + 2)}} = \frac{1}{\nu } - \frac{1}{{\nu + 2}}}$

Επομένως

$\displaystyle{\begin{array}{l} \,\,\,\,2 \cdot \Sigma = \left( {\frac{1}{1} - \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{6}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{\nu } - \frac{1}{{\nu + 2}}} \right) = 1 - \frac{1}{{\nu + 2}} = \frac{{{\rm{\nu + 1}}}}{{\nu + 2}} \Leftrightarrow \\ \,\, \Leftrightarrow \Sigma = \frac{{{\rm{\nu + 1}}}}{{2\nu + 4}} \\ \end{array}}$

#3

parmenides51 έγραψε:
2. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} x+y=9 \\ \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=3 \end{cases} }$

Θέτω $\displaystyle{\sqrt[3]{x} = a,\sqrt[3]{y} = b \Leftrightarrow x = {a^3},y = {b^3}}$
Το σύστημα τώρα γράφεται

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} {a^3} + {b^3} = 9\\ a + b = 3 \end{array} \right\} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3({a^2} - ab + {b^2}) = 9\\ a + b = 3 \end{array} \right\} \Leftrightarrow }$ $\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} {(a + b)^2} - 3ab = 3\\ a + b = 3 \end{array} \right\}}$

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} ab = 2\\ a + b = 3 \end{array} \right\}}$

Άρα a,b

είναι οι λύσεις της εξίσωσης $\displaystyle{{z^2} - 3z + 2 = 0 \Leftrightarrow {z_1} = 1,{z_2} = 2}$

Οπότε $\displaystyle{x = 1,y = 8}$ ή $\displaystyle{x = 8,y = 1}$

Σχόλιο: Αν δινόταν σήμερα αυτή η άσκηση θα έπρεπε να βάλουμε τον περιορισμό $\displaystyle{x,y \ge 0}$ . Τότε όμως επιτρεπόταν τα υπόρριζα των περιττών ριζών να είναι και αρνητικά. Έχει γίνει μεγάλος λόγος γι' αυτό το θέμα.

#4

parmenides51 έγραψε: 3. Αν ο όρος που κατέχει την $\displaystyle{\nu}$ τάξη σε αριθμητική πρόοδο είναι $\displaystyle{\alpha}$ , ο όρος που κατέχει την $\displaystyle{\mu}$ τάξη είναι $\displaystyle{\beta}$
και ο όρος που κατέχει την $\displaystyle{\rho}$ τάξη είναι $\displaystyle{\gamma}$ , να δειχθεί οτι $\displaystyle{(\mu-\rho)\alpha+(\rho-\nu)\beta+(\nu-\mu)\gamma=0}$

Έστω $\displaystyle{{\alpha _1},\omega }$ , ο πρώτος όρος και η διαφορά αντίστοιχα, της αριθμητικής προόδου.

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} \alpha = {\alpha _1} + (\nu - 1)\omega \\ \beta = {\alpha _1} + (\mu - 1)\omega \\ \gamma = {\alpha _1} + (\rho - 1)\omega \end{array} \right\} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \beta - \alpha = (\mu - \nu )\omega \\ \alpha - \gamma = (\nu - \rho )\omega \\ \gamma - \beta = (\rho - \mu )\omega \end{array} \right\}(1)}$

$\displaystyle{(\mu - \rho )\alpha + (\rho - \nu )\beta + (\nu - \mu )\gamma = \mu \alpha - \rho \alpha + \rho \beta - \nu \beta + \nu \gamma - \mu \gamma = }$

$\displaystyle{\mu (\alpha - \gamma ) + \rho (\beta - \alpha ) + \nu (\gamma - \beta )\mathop = \limits^{(1)} [\mu (\nu - \rho ) + \rho (\mu - \nu ) + \nu (\rho - \mu )]\omega = }$

$\displaystyle{(\mu \nu - \mu \rho + \rho \mu - \rho \nu + \nu \rho - \mu \nu )\omega = 0 \cdot \omega = 0}$

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1975 ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1975 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1975 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1975 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1975 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση