ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1975 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Το άθροισμα των διαμέσων κάθε τριγώνου είναι μεγαλύτερο από τα $\displaystyle{\frac{3}{4}}$ της περιμέτρου του.

2. Να κατασκευαστεί ισοσκελές τραπέζιο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ από τις βάσεις $\displaystyle{AB=\alpha, \Gamma{\color{red}\Delta}=\beta}$
και από τις διαγωνίους του $\displaystyle{A\Gamma=B\Delta=\gamma}$ .

3. Σε κανονικό τετράεδρο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ ακμής $\displaystyle{\alpha}$ , φέρνουμε το ύψος $\displaystyle{AK}$ . Αν $\displaystyle{H}$ είναι το μέσον του $\displaystyle{AK}$
και αχθούν οι $\displaystyle{BH,\Gamma H,\Delta H}$ , να δειχθεί οτι αυτές ανα δυο τέμνονται κάθετα.

edit
διόρθωση τυπογραφικού 2ο

#2

parmenides51 έγραψε:
3. Σε κανονικό τετράεδρο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ ακμής $\displaystyle{\alpha}$ , φέρνουμε το ύψος $\displaystyle{AK}$ . Αν $\displaystyle{H}$ είναι το μέσον του $\displaystyle{AK}$
και αχθούν οι $\displaystyle{BH,\Gamma H,\Delta H}$ , να δειχθεί οτι αυτές ανα δυο τέμνονται κάθετα.

Στο κανονικό τετράεδρο οι έδρες είναι ισόπλευρα τρίγωνα ακμής $\displaystyle{\,\,{\rm{\alpha }}\,\,\,}$
Το $\displaystyle{\,\,{\rm{{\rm K}}}\,\,\,}$ είναι σημείο τομής των μεσοκαθέτων , άρα είναι το βαρύκεντρο του $\displaystyle{\,\,{\rm{\Delta {\rm B}\Gamma }}\,\,\,}$ , οπότε $\displaystyle{\,{\rm{\Delta {\rm K} = }}\,\,\frac{2}{3}\Delta {\rm Z} = \frac{2}{3}\frac{{\alpha \sqrt 3 }}{2} = \frac{{\alpha \sqrt 3 }}{3}\,\,}$
Με πυθαγόρειο στο $\displaystyle{\,\,\Delta {\rm A}{\rm K}\,\,\,}$ , βρίσκουμε ότι :
$\displaystyle{\,\,{\rm A}{\rm K} = \sqrt {{\alpha ^2} - \frac{{{\alpha ^3}}}{3}} = \sqrt {\frac{{2{\alpha ^2}}}{3}} \Rightarrow {\rm H}{\rm K} = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{{2{\alpha ^2}}}{3}} }$
οπότε με πυθαγόρειο στο $\displaystyle{\,\,\Delta {\rm H}{\rm K}\,\,\,}$ , βρίσκουμε ότι :
$\displaystyle{\,\,\,\,\Delta {{\rm H}^2} = \frac{{{\alpha ^2}}}{3} + \frac{{{\alpha ^2}}}{6} = \frac{{{\alpha ^2}}}{2}\,\,\,}$ και όμοια : $\displaystyle{\,\,{\rm H}{\rm B} = \frac{{{\alpha ^2}}}{2}\,\,\,}$
Τότε : $\displaystyle{\,\,\Delta {{\rm H}^2} + {\rm H}{{\rm B}^2} = \frac{{{\alpha ^2}}}{2} + \frac{{{\alpha ^2}}}{2} = {\alpha ^2} = \Delta {{\rm B}^2}\,}$ , που σημαίνει ότι : $\displaystyle{\,\widehat{\Delta {\rm H}{\rm B}} = {90^0}\,\,}$ δηλαδή $\displaystyle{\,\,{\rm H} \Delta \bot {\rm H}{\rm B}\,\,\,}$
Ομοίως για τις άλλες γωνίες και το ζητούμενο αποδείχθηκε .

#3

parmenides51 έγραψε:1. Το άθροισμα των διαμέσων κάθε τριγώνου είναι μεγαλύτερο από τα $\displaystyle{\frac{3}{4}}$ της περιμέτρου του.

: Ευελπίδων 1.1975.png (6.33 KiB) Προβλήθηκε 721 φορές

Έστω $\displaystyle{\Theta }$ το βαρύκεντρο του τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ . Από τριγωνική ανισότητα στα τρίγωνα $\displaystyle{{\rm B}\Theta \Gamma ,{\rm A}\Theta {\rm B},{\rm A}\Theta \Gamma }$ έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{{\rm B}\Theta + \Theta \Gamma > \alpha ,{\rm A}\Theta + {\rm B}\Theta > \gamma ,{\rm A}\Theta + \Theta \Gamma > \beta }$ και προσθέτοντας κατά μέλη,

$\displaystyle{2({\rm A}\Theta + {\rm B}\Theta + \Theta \Gamma ) > \alpha + \beta + \gamma \Leftrightarrow 2 \cdot \frac{2}{3}({\mu _\alpha } + {\mu _\beta } + {\mu _\gamma }) > \alpha + \beta + \gamma }$

Άρα, $\displaystyle{{\mu _\alpha } + {\mu _\beta } + {\mu _\gamma } > \frac{3}{4}(\alpha + \beta + \gamma )}$

parmenides51 · #4

parmenides51 έγραψε:2. Να κατασκευαστεί ισοσκελές τραπέζιο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ από τις βάσεις $\displaystyle{AB=\alpha, \Gamma{\color{red}\Delta}=\beta}$
και από τις διαγωνίους του $\displaystyle{A\Gamma=B\Delta=\gamma}$ .

αν το τραπέζιο δεν ήταν ισοσκελές, μια λύση θα ήταν η εξής

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1975 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1975 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1975 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1975 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1975 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση