ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1958 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

parmenides51 · #1

ΠΟΛΥΤ(ΕΧΝΕΙΟ) ΘΕΣΣ(ΑΛΟΝΙΚΗΣ)

1. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} x^2+5y^2=9 \\ x^2-3xy=-2 \end{cases} }$

2. Για ποιες τιμές του $\displaystyle{\lambda}$ η ανισότητα $\displaystyle{( \lambda -2)x^2+2( \lambda +1)x-1<0}$ αληθεύει για κάθε τιμή του x ;

3. Σε φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο $\displaystyle{\alpha_{\nu}}$ (λόγου $\displaystyle{\lambda}$ ) με άπειρους όρους (αθροίσματος $\displaystyle{\Sigma}$ ) ισχύουν οι σχέσεις $\displaystyle{\begin{cases} \Sigma=\alpha_1 +1 \\ 4 (\Sigma^2+\lambda ^2)=257 \end{cases} }$ . Να βρεθεί αυτή.

Paolos · #2

parmenides51 έγραψε:
1. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} x^2+5y^2=9 \\ x^2-3xy=-2 \end{cases} }$

${{x}^{2}}+5{{y}^{2}}=9\,\,\,\,(1)$
${{x}^{2}}-3xy=-2\,\,\,\,(2)$

Η σχέση (2)

δίνει $3xy={{x}^{2}}+2>0$ , άρα οι αριθμοί x,y

είναι ομόσημοι.
Έχουμε
${{x}^{2}}+5{{y}^{2}}=9\Rightarrow {{y}^{2}}=\frac{9-{{x}^{2}}}{5}\,\,(*)$
Επίσης
$3xy={{x}^{2}}+2$
${{\left( 3xy \right)}^{2}}={{\left( {{x}^{2}}+2 \right)}^{2}}$
$9{{x}^{2}}{{y}^{2}}={{x}^{4}}+4+4{{x}^{2}}\overset{(*)}{\mathop{\Rightarrow }}\,$
${{x}^{4}}+4+4{{x}^{2}}=9{{x}^{2}}\frac{9-{{x}^{2}}}{5}$
$5{{x}^{4}}+20+20{{x}^{2}}=81{{x}^{2}}-9{{x}^{4}}$
$14{{x}^{4}}-61{{x}^{2}}+20=0$ .
Λύνοντας το διτετράγωνο τριώνυμο, βρίσκουμε $\displaystyle{\left( {{x}^{2}}=4 \right)\vee \left( {{x}^{2}}=\frac{5}{14} \right)}$ .
Για ${{x}^{2}}=4\overset{(1)}{\mathop{\Rightarrow }}\,{{y}^{2}}=1$ .
Για ${{x}^{2}}=\frac{5}{14}\overset{(1)}{\mathop{\Rightarrow }}\,{{y}^{2}}=\frac{121}{70}$ .
Λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι οι αριθμοί x,y

είναι ομόσημοι, προκύπτουν οι λύσεις
$(x,y)=(2,1)\vee (-2,-1)\vee (\frac{\sqrt{70}}{14},\frac{11\sqrt{70}}{70})\vee (-\frac{\sqrt{70}}{14},-\frac{11\sqrt{70}}{70})$ ,
οι οποίες επαληθεύουν το αρχικό σύστημα.

Paolos · #3

Για ποιες τιμές του $\displaystyle{\lambda}$ η ανισότητα $\displaystyle{( \lambda -2)x^2+2( \lambda +1)x-1<0}$ αληθεύει για κάθε τιμή του x ;

Θα πρέπει
$\displaystyle{\left( \lambda -2<0 \right)\wedge \left( \Delta <0 \right)}$ ,
όπου $\Delta$ είναι η διακρίνουσα του αρχικού τριωνύμου.
Έχουμε $\Delta =4{{(\lambda +1)}^{2}}+4(\lambda -2).$ Οπότε ισοδύναμα:
$2{{(\lambda +1)}^{2}}+4(\lambda -2)<0$
${{\lambda }^{2}}+2\lambda +1+\lambda -2<0$
${{\lambda }^{2}}+3\lambda -1<0$ .
Το νέο αυτό τριώνυμο έχει διακρίνουσα

και ρίζες ${{\lambda }_{1,2}}=\frac{-3\pm \sqrt{13}}{2}.$
Άρα
${{\lambda }^{2}}+3\lambda -1<0\Leftrightarrow \frac{-3-\sqrt{13}}{2}<\lambda <\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$ .
[Η τελευταία συνθήκη περιέχει και την $\lambda <2$ ].

ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1958 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1958 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1958 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1958 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

Μέλη σε σύνδεση