ΙΚΑΡΩΝ 1979 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Να λυθεί η ανίσωση $\displaystyle{ \frac{\sigma\upsilon\nu x}{1+2\sigma\upsilon\nu x}>\frac{1-\sigma\upsilon\nu x}{1-2\sigma\upsilon\nu x}}$

2. Να δειχτεί οτι η παράσταση $\displaystyle{A=\eta\mu^6x+\sigma\upsilon\nu^6 x -2\eta\mu^4 x-\sigma\upsilon\nu^4 x+\eta\mu^2 x}$ είναι ανεξάρτητη του $\displaystyle{x}$ .

3. Αν οι πλευρές τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι $\displaystyle{B\Gamma=\alpha=x^2+x+1,\,\,\Gamma=\beta=2x+1,\,\, AB=\gamma=x^2-1}$
και είναι $\displaystyle{|x|>1}$ , να δείξετε οτι μια από τις γωνίες του είναι $\displaystyle{120^o}$ .

4. Εαν $\displaystyle{0<x<\pi }$ να δειχθεί η ανισότητα $\displaystyle{\frac{1-\sigma\upsilon\nu x}{x\eta\mu x}>\frac{1}{2}}$

5. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\varepsilon\phi x+\varepsilon\phi 2x=\varepsilon\phi 3x}$

edit
Συμπλήρωση ζητούμενου στο 2ο θέμα, ευχαριστώ την Φωτεινή

#2

parmenides51 έγραψε:
2. Να δειχτεί οτι η παράσταση $\displaystyle{A=\eta\mu^6x+\sigma\upsilon\nu^6 x -2\eta\mu^4 x-\sigma\upsilon\nu^4 x+\eta\mu^2 x}$ είναι ανεξάρτητη του $\displaystyle{x}$ .

$\displaystyle{\eta {\mu ^6}x + \sigma \upsilon {\nu ^6}x = {\left( {\eta {\mu ^2}x + \sigma \upsilon {\nu ^2}x} \right)^3} - 3\eta {\mu ^2}x\sigma \upsilon {\nu ^2}x\left( {\eta {\mu ^2}x + \sigma \upsilon {\nu ^2}x} \right) = 1 - 3\eta {\mu ^2}x\sigma \upsilon {\nu ^2}x}$

$\displaystyle{ - 2\eta {\mu ^4}x - \sigma \upsilon {\nu ^4}x + \eta {\mu ^2}x = - \eta {\mu ^4}x - \sigma \upsilon {\nu ^4}x - \eta {\mu ^4}x + \eta {\mu ^2}x}$

$\displaystyle{ = - {\left( {\eta {\mu ^2}x + \sigma \upsilon {\nu ^2}x} \right)^2} + 2\eta {\mu ^2}x\sigma \upsilon {\nu ^2}x + \eta {\mu ^2}x(1 - \eta {\mu ^2}x) = - 1 + 3\eta {\mu ^2}x\sigma \upsilon {\nu ^2}x}$

Άρα $\displaystyle{{\rm A} = 0}$ .

#3

parmenides51 έγραψε:
4. Εαν $\displaystyle{0<x<\pi }$ να δειχθεί η ανισότητα $\displaystyle{\frac{1-\sigma\upsilon\nu x}{x\eta\mu x}>\frac{1}{2}}$

$\displaystyle{\begin{array}{l} 0 < x < {\rm{\pi }} \Leftrightarrow 0 < \frac{x}{2} < \frac{{\rm{\pi }}}{2} \\ \\ \frac{{1 - \sigma \upsilon \nu x}}{{x\eta \mu x}} > \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2(1 - \sigma \upsilon \nu x) > x\eta \mu x \Leftrightarrow 4{\rm{\eta }}{{\rm{\mu }}^2}\frac{x}{2} > 2x{\rm{\eta \mu }}\frac{x}{2}{\rm{\sigma \upsilon \nu }}\frac{x}{2} \Leftrightarrow {\rm{\varepsilon \varphi }}\frac{x}{2} > \frac{x}{2} \\ \end{array}}$
το οποίο ισχύει

#4

parmenides51 έγραψε:

3. Αν οι πλευρές τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι $\displaystyle{B\Gamma=\alpha=x^2+x+1,\,\,\Gamma=\beta=2x+1,\,\, AB=\gamma=x^2-1}$
και είναι $\displaystyle{|x|>1}$ , να δείξετε οτι μια από τις γωνίες του είναι $\displaystyle{120^o}$ .

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu {\rm A} = \frac{{{\beta ^2} + {\gamma ^2} - {\alpha ^2}}}{{2\beta \gamma }} = \frac{{{{(2x + 1)}^2} + {{({x^2} - 1)}^2} - {{({x^2} + x + 1)}^2}}}{{2(2x + 1)({x^2} - 1)}}}$

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu A = \frac{{4{x^2} + 4x + 1 + {x^4} - 2{x^2} + 1 - {x^4} - {x^2} - 1 - 2x - 2{x^2} - 2{x^3}}}{{2(2{x^3} + {x^2} - 2x - 1)}}}$

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu A = \frac{{ - (2{x^3} + {x^2} - 2x - 1)}}{{2(2{x^3} + {x^2} - 2x - 1)}} = - \frac{1}{2} \Rightarrow A = {120^0}}$

Paolos · #5

5.Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\varepsilon\phi x+\varepsilon\phi 2x=\varepsilon\phi 3x}$

Καταρχήν για να ορίζεται η εξίσωση θα πρέπει

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \chi \ne 0\,\,,\,\,\sigma \upsilon \nu 2\chi \ne 0\,\,,\,\,\sigma \upsilon \nu 3\chi \ne 0\,\,\,(*)}$

Έχουμε:

$\displaystyle{\varepsilon \varphi \chi + \varepsilon \varphi 2\chi = \varepsilon \varphi 3\chi }$

$\displaystyle{\frac{{\eta \mu \chi }}{{\sigma \upsilon \nu \chi }} + \frac{{\eta \mu 2\chi }}{{\sigma \upsilon \nu 2\chi }} = \frac{{\eta \mu 3\chi }}{{\sigma \upsilon \nu 3\chi }}}$

$\displaystyle{\frac{{\eta \mu \chi \cdot \sigma \upsilon \nu 2\chi + \eta \mu 2\chi \cdot \sigma \upsilon \nu \chi }}{{\sigma \upsilon \nu \chi \cdot \sigma \upsilon \nu 2\chi }} = \frac{{\eta \mu 3\chi }}{{\sigma \upsilon \nu 3\chi }}}$

$\displaystyle{\frac{{\eta \mu \chi \cdot \sigma \upsilon \nu 2\chi + \eta \mu 2\chi \cdot \sigma \upsilon \nu \chi }}{{\sigma \upsilon \nu \chi \cdot \sigma \upsilon \nu 2\chi }} - \frac{{\eta \mu 3\chi }}{{\sigma \upsilon \nu 3\chi }} = 0}$

$\displaystyle{\frac{{\eta \mu 3\chi }}{{\sigma \upsilon \nu \chi \cdot \sigma \upsilon \nu 2\chi }} - \frac{{\eta \mu 3\chi }}{{\sigma \upsilon \nu 3\chi }} = 0}$

$\displaystyle{\eta \mu 3\chi (\sigma \upsilon \nu \chi \cdot \sigma \upsilon \nu 2\chi - \sigma \upsilon \nu 3\chi ) = 0}$

$\displaystyle{(\eta \mu 3\chi = 0) \vee (\sigma \upsilon \nu \chi \cdot \sigma \upsilon \nu 2\chi - \sigma \upsilon \nu 3\chi = 0)}$

και χρησιμοποιώντας τη σχέση $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu 3\alpha = 4\sigma \upsilon {\nu ^3}\alpha - 3\sigma \upsilon \nu \alpha }$ παίρνουμε:

$\displaystyle{(\eta \mu 3\chi = 0) \vee (\sigma \upsilon \nu \chi \cdot \sigma \upsilon \nu 2\chi - 4\sigma \upsilon {\nu ^3}\chi + 3\sigma \upsilon \nu \chi = 0)}$

$\displaystyle{(\eta \mu 3\chi = 0) \vee (\sigma \upsilon \nu \chi \cdot (2\sigma \upsilon {\nu ^2}\chi - 1) - 4\sigma \upsilon {\nu ^3}\chi + 3\sigma \upsilon \nu \chi = 0)}$

$\displaystyle{(\eta \mu 3\chi = 0) \vee ( - 2\sigma \upsilon {\nu ^3}\chi + 2\sigma \upsilon \nu \chi = 0)}$

$\displaystyle{(\eta \mu 3\chi = 0) \vee (2\sigma \upsilon \nu \chi \cdot (1 - \sigma \upsilon {\nu ^2}\chi ) = 0)}$

$\displaystyle{(\eta \mu 3\chi = 0) \vee (\sigma \upsilon \nu \chi = 0) \vee (\sigma \upsilon \nu \chi = 1) \vee (\sigma \upsilon \nu \chi = - 1)\mathop \Rightarrow \limits^{(*)} }$

$\displaystyle{(\eta \mu 3\chi = 0) \vee (\sigma \upsilon \nu \chi = 1) \vee (\sigma \upsilon \nu \chi = - 1)}$

$\displaystyle{\left( {\chi = \frac{{\kappa \pi }}{3}} \right) \vee \left( {\chi = 2\kappa \pi } \right) \vee \left( {\chi = 2\kappa \pi + \pi } \right)\,\,\,,\,\,\,\kappa \in {\rm Z}.}$

Christos.N · #6

1. Να λυθεί η ανίσωση $\displaystyle{ \frac{\sigma\upsilon\nu x}{1+2\sigma\upsilon\nu x}>\frac{1-\sigma\upsilon\nu x}{1-2\sigma\upsilon\nu x}}$

Θέτουμε $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu x = a}$

και η εξίσωση γίνεται,

$\displaystyle{ \frac{a}{{1 + 2a}} > \frac{{1 - a}}{{1 - 2a}} \Leftrightarrow \frac{a}{{1 + 2a}} + \frac{{a - 1}}{{1 - 2a}} > 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{1 - 4a^2 }} > 0 \Leftrightarrow |a| > \frac{1}{2} }$

Έτσι,

αν $\displaystyle{ a > \frac{1}{2} \Rightarrow \sigma \upsilon \nu x > \frac{1}{2} \Rightarrow x = 2k\pi + u,\,u \in ( - \frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}) }$

αν $\displaystyle{ a < - \frac{1}{2} \Rightarrow \sigma \upsilon \nu x < - \frac{1}{2} \Rightarrow x = 2k\pi + u,\,u \in (\frac{{2\pi }}{3},\frac{{4\pi }}{3}) }$

Paolos · #7

2. Να δειχτεί οτι η παράσταση $\displaystyle{A=\eta\mu^6x+\sigma\upsilon\nu^6 x -2\eta\mu^4 x-\sigma\upsilon\nu^4 x+\eta\mu^2 x}$ είναι ανεξάρτητη του $\displaystyle{x}$ .

Καλημέρα!

Ας ονομάσουμε $\displaystyle{k = \sigma \upsilon \nu 2x.}$

Θα χρησιμοποιήσουμε τους τύπους αποτετραγωνισμού: $\displaystyle{\eta {\mu ^2}x = \frac{{1 - k}}{2}\,\,\,,\,\,\,\sigma \upsilon \nu 2x = \frac{{1 + k}}{2}.}$

Έχουμε

$\displaystyle{\eta {\mu ^6}x + \sigma \upsilon {\nu ^6}x - 2\eta {\mu ^4}x - \sigma \upsilon {\nu ^4}x + \eta {\mu ^2}x = }$

$\displaystyle{{\left( {\frac{{1 - k}}{2}} \right)^3} + {\left( {\frac{{1 + k}}{2}} \right)^3} - 2{\left( {\frac{{1 - k}}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{{1 + k}}{2}} \right)^2} + \frac{{1 - k}}{2} = }$

$\displaystyle{\frac{{1 - 3k + 3{k^2} - {k^3} + 1 + 3k + 3{k^2} + {k^3} - 4 + 8k - 4{k^2} - 2 - 4k - 2{k^2} + 4 - 4k}}{8} = \frac{0}{8} = 0.}$

ΙΚΑΡΩΝ 1979 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΙΚΑΡΩΝ 1979 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1979 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1979 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1979 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1979 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1979 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1979 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση