Σ.Μ.Α 1979 ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{ \begin{cases} 5(\log_y x+\log_x y) =26 \\ xy=64 \end{cases}}$

2. Εαν είναι $\displaystyle{\kappa !=1\cdot 2\cdot 3 \cdot ...\cdot k}$ , να δειχτεί οτι $\displaystyle{\kappa ! >\left(\frac{k}{e}\right)^{k}}$

3. Να καθορίσετε το $\displaystyle{\nu \in \mathbb{N}^*}$ για το οποίο το πολυώνυμο $\displaystyle{f(x)=x^{2\nu -2}+x^{2\nu -4}+...+x^4+x^2+1}$
διαιρείται από το πολυώνυμο $\displaystyle{g(x)=x^{\nu -1}+x^{\nu -2}+...+x^2+x+1}$

4. Να βρείτε για ποια τιμή του $\displaystyle{x}$ ο ένας όρος του διωνύμου $\displaystyle{\left(\sqrt{2^{\log (10-3^x)}}+\sqrt[5]{2^{(x-2)\log 3}}\right)^{\mu}}$ είναι ίσος με $\displaystyle{21}$ ,
εαν γνωρίζετε οτι οι συντελεστές του $\displaystyle{2}$ ου, $\displaystyle{3}$ ου και $\displaystyle{4}$ ου όρου του αναπτύγματος είναι αντίστοιχα
ο $\displaystyle{1}$ ος, $\displaystyle{3}$ ος και $\displaystyle{5}$ ος όρος μιας αριθμητικής προόδου.

5. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\ 4 & 1 & 1\\ -3 & 2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ -1\\ 2 \end{pmatrix}}$

Υ.Γ. Την χρονιά 1979 στο σχετικό Δελτίο του Πάλλα δεν περιλαμβάνονται θέματα Τριγωνομετρίας στην ΣΜΑ, στα οποία λογικά εξετάστηκαν. Αν κάποιος τα έχει από άλλη πηγή, θα χαιρόμασταν ιδιαίτερα εαν τα μετέφερε -για λόγους πληρότητας- εδώ στο

.

edit
προσθήκη υστερόγραφου

#2

parmenides51 έγραψε:1. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{ \begin{cases} 5(\log_y x+\log_x y) =26 \\ xy=64 \end{cases}}$

Κατ' αρχήν $\displaystyle{0 < x,y \ne 1}$

Θέτω $\displaystyle{{\log _y}x = u \Leftrightarrow x = {y^u}}$ και $\displaystyle{{\log _x}y = w \Leftrightarrow y = {x^w}}$ .
Από αυτές τις δύο εξισώσεις προκύπτει ότι $\displaystyle{{x^{uw}} = x\mathop \Leftrightarrow \limits^{x \ne 1} uw = 1}$ .
Άρα έχουμε: $\displaystyle{u + w = \frac{{26}}{5}}$ και $\displaystyle{uw = 1}$ , οπότε τα u,w

είναι λύσεις της εξίσωσης
$\displaystyle{5{z^2} - 26z + 5 = 0 \Leftrightarrow {z_1} = 5,{z_2} = \frac{1}{5}}$ .

Οπότε $\displaystyle{\left( {u = 5,w = \frac{1}{5}} \right)}$ ή $\displaystyle{\left( {u = \frac{1}{5},w = 5} \right)}$ .

Είναι όμως $\displaystyle{xy = 64}$ . Άρα:

Για $\displaystyle{\left( {u = 5,w = \frac{1}{5}} \right)}$ , $\displaystyle{{\left( {\frac{{64}}{x}} \right)^5} = x \Leftrightarrow {64^5} = {x^6} \Leftrightarrow {2^5} \cdot {32^5} = {x^6} \Leftrightarrow {32^6} = {x^6} \Leftrightarrow x = 32}$ και $\displaystyle{y = 2}$

Ομοίως για $\displaystyle{\left( {u = \frac{1}{5},w = 5} \right)}$ , βρίσκουμε $\displaystyle{x = 2,y = 32}$

ArgirisM · #3

parmenides51 έγραψε:2. Εαν είναι $\displaystyle{\kappa !=1\cdot 2\cdot 3 \cdot ...\cdot k}$ , να δειχτεί οτι $\displaystyle{\kappa ! >\left(\frac{k}{e}\right)^{k}}$

Θα δείξουμε το ζητούμενο επαγωγικά. Για $\kappa = 1$ έχουμε $1 > \frac{1}{e}$ που προφανώς ισχύει. Έστω ότι το ζητούμενο ισχύει για τυχαίο $\kappa = \nu$ . Τότε θα έχουμε: $\nu ! > (\frac{\nu}{e})^{\nu} (1)$
Για $\kappa = \nu + 1$ θα πρέπει να είναι $(\nu + 1) ! > (\frac{\nu + 1}{e})^{\nu + 1}$ . Με βάση την προηγούμενη υπόθεση έχουμε $(\nu + 1)! > (\nu + 1) (\frac{\nu}{e})^{\nu} > (\frac{\nu + 1}{e})^{\nu + 1} \Longleftrightarrow e > (\frac{\nu + 1}{\nu})^{\nu} = (1 + \frac{1}{\nu})^{\nu}$ που ισχύει για κάθε $\nu \in N$ .
Άρα $\kappa ! > (\frac{\kappa}{e})^{\kappa}, \forall k \in N^*$ .
Όμορφο θεματάκι και όχι, αν και της ΣΜΑ, ιδιαίτερα δύσκολο.

#4

parmenides51 έγραψε:

5. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\ 4 & 1 & 1\\ -3 & 2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ -1\\ 2 \end{pmatrix}}$

$\displaystyle{\begin{array}{l} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 2 & { - 1} \\ 4 & 1 & 1 \\ { - 3} & 2 & { - 1} \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x \\ y \\ z \\ \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ { - 1} \\ 2 \\ \end{array}} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {} & {x + 2y - z = 0} & {} \\ {} & {4x + y + z = - 1} & \Leftrightarrow \\ {} & { - 3x + 2y - z = 2} & {} \\ \end{array}} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {} & {x + 2y = z} & {} \\ {} & {4x + y + x + 2y = - 1} & \Leftrightarrow \\ {} & { - 3x + 2y - x - 2y = 2} & {} \\ \end{array}} \right. \\ \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {} & {x + 2y = z} & {} \\ {} & {4x + y + x + 2y = - 1} & \Leftrightarrow \\ {} & { - 4x = 2} & {} \\ \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {} & {x + 2y = z} & {} \\ {} & {5x + 3y = - 1} & \Leftrightarrow \\ {} & {x = - \frac{1}{2}} & {} \\ \end{array}} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {} & {x + 2y = z} & {} \\ {} & {y = \frac{1}{2}} & \Leftrightarrow \\ {} & {x = - \frac{1}{2}} & {} \\ \end{array}} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {} & {z = \frac{1}{2}} & {} \\ {} & {y = \frac{1}{2}} & {} \\ {} & {x = - \frac{1}{2}} & {} \\ \end{array}} \right. \\ (x,y,z) = \left( { - \frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right) \\ \end{array}}$

ΥΓ ...... Αναλογικά εύκολο για τη ΣΜΑ ....900 υποψήφιοι για 9 θέσεις ....και οι λύσεις έπρεπε να γράφονται υποχρεωτικά με μολύβι ...

apotin · #5

parmenides51 έγραψε: 4. Να βρείτε για ποια τιμή του $\displaystyle{x}$ ο ένας όρος του διωνύμου $\displaystyle{\left(\sqrt{2^{\log (10-3^x)}}+\sqrt[5]{2^{(x-2)\log 3}}\right)^{\mu}}$ είναι ίσος με $\displaystyle{21}$ ,
εαν γνωρίζετε οτι οι συντελεστές του $\displaystyle{2}$ ου, $\displaystyle{3}$ ου και $\displaystyle{4}$ ου όρου του αναπτύγματος είναι αντίστοιχα
ο $\displaystyle{1}$ ος, $\displaystyle{3}$ ος και $\displaystyle{5}$ ος όρος μιας αριθμητικής προόδου.

Γενικά ισχύει

$\displaystyle{{\left( {\alpha + \beta } \right)^\mu } = {\alpha ^\mu } + \left( \begin{array}{l} \mu \\ 1 \end{array} \right){\alpha ^{\mu - 1}}\beta + \left( \begin{array}{l} \mu \\ 2 \end{array} \right){\alpha ^{\mu - 2}}{\beta ^2} + \left( \begin{array}{l} \mu \\ 3 \end{array} \right){\alpha ^{\mu - 3}}{\beta ^3} + \cdots }$

Έστω $\displaystyle{\omega }$ η διαφορά της αριθμητικής προόδου. Τότε $\displaystyle{{\alpha _5} - {\alpha _3} = 2\omega = {\alpha _3} - {\alpha _1}}$ , οπότε έχουμε

$\displaystyle{\left( \begin{array}{l} \mu \\ 3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{l} \mu \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \mu \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{l} \mu \\ 1 \end{array} \right) \Leftrightarrow 2\left( \begin{array}{l} \mu \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \mu \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{l} \mu \\ 3 \end{array} \right) \Leftrightarrow {\mu ^2} - 9\mu + 14 = 0 \Leftrightarrow \mu = 2\; \vee \;\mu = 7}$

Προφανώς $\displaystyle{\mu = 7}$

Άρα έχουμε ανάπτυγμα της μορφής

$\displaystyle{{\left( {\alpha + \beta } \right)^7} = {\alpha ^7} + 7{\alpha ^6}\beta + 21{\alpha ^5}{\beta ^2} + 35{\alpha ^4}{\beta ^3} + \cdots + 21{\alpha ^2}{\beta ^5} + 7\alpha {\beta ^6} + {\beta ^7}}$

με $\displaystyle{\alpha = \sqrt {{2^{\log \left( {10 - {3^x}} \right)}}} }$ και $\displaystyle{\beta = \sqrt[5]{{{2^{\left( {x - 2} \right)\log 3}}}}}$

Θέλουμε κάποιος όρος να ισούται με $\displaystyle{21}$

Απαιτούμε

$\displaystyle{21{\alpha ^2}{\beta ^5} = 21 \Leftrightarrow {2^{\log \left( {10 - {3^x}} \right)}}{2^{\left( {x - 2} \right)\log 3}} = 1 \Leftrightarrow \log \left( {10 - {3^x}} \right) + \left( {x - 2} \right)\log 3 = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\left( {10 - {3^x}} \right){3^{x - 2}} = 1 \Leftrightarrow {\left( {{3^x}} \right)^2} - 10 \cdot {3^x} + 9 = 0 \Leftrightarrow x = 0\; \vee \;x = 2}$

τιμές που είναι δεκτές

Antonis_Z · #6

Καλησπέρα.Μια λύση για την 3.

1η περίπτωση:

άρτιος.
Θα ισχύει τότε g(-1)=0

,ενώ

,οπότε το

θα έχει έναν παράγοντα x+1

,σε αντίθεση με το

που δε θα τον έχει.Δηλαδή το

δε θα διαιρεί το

.

2η περίπτωση:

περιττός.
Για x=1

έχουμε

και

,άρα για αυτές τις τιμές δεν ανακύπτει κάποιο πρόβλημα στη διαιρετότητα.
Έστω $x\neq 1,-1$ .Παρατηρούμε ότι ισχύει $f(x)=\frac{x^{2n}-1}{x^2-1}$ και $g(x)=\frac{x^n-1}{x-1}$ ,συνεπώς $f(x)=\frac{x^n+1}{x+1}g(x)$ (1).Όμως (x+1)|(x^n+1)

,αφού

περιττός.
Άρα απ'την (1) ισχύει g|f

.

Πρέπει,τελικά,ο

να είναι περιττός ώστε g|f

.

Σ.Μ.Α 1979 ΑΛΓΕΒΡΑ

Σ.Μ.Α 1979 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α 1979 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α 1979 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α 1979 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α 1979 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α 1979 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση