ΕΜΠ 1958 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. ΜΗΧ.

parmenides51 · #1

Εξεταστής : Παππάς

1. Να λυθεί ως προς $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} \sqrt{x^2+y^2}+3\sqrt{xy}=\alpha \\ \displaystyle\frac{\log(\beta^2-xy)}{\sqrt{x+y}} =4 \end{cases} }$ .
Να διερευνηθεί το πλήθος λύσεων του συστήματος. Τι συνθήκες πρέπει να πληρούν τα $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{ \beta}$ σε κάθε περίπτωση;

2. Δυο κινητά $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ απομακρύνονται με την ίδια ταχύτητα από την κορυφή $\displaystyle{O}$ και πάνω στις πλευρές $\displaystyle{Ox}$ και $\displaystyle{Oy}$ ορθής γωνίας. Σε χρόνο μηδέν απέχουν από την κορυφή $\displaystyle{O}$ της γωνίας αντίστοιχα $\displaystyle{6}$ μέτρα και $\displaystyle{1}$ μέτρο. Στο τέλος του πρώτου δευτερολέπτου απέχουν μεταξύ τους $\displaystyle{10}$ μέτρα. Στο τέλους του τρίτου δευτερολέπτου απέχουν μεταξύ τους $\displaystyle{ 20}$ μέτρα. Να βρεθούν οι ταχύτητες των κινητών.

3. Κωπηλατιστής βρισκόμενος πάνω σε λέμβο $\displaystyle{\Lambda}$ απέχει από μια ευθύγραμμη ακτή απόσταση $\displaystyle{6}$ χιλιόμετρα. Αυτός πρόκειται να φτάσει σε σημείο $\displaystyle{A}$ πάνω στην ακτή που απέχει από την λέμβο $\displaystyle{\Lambda}$ απόσταση $\displaystyle{10}$ χιλιόμετρα. Ζητείται να βρεθεί σε ποιο σημείο $\displaystyle{ \Sigma}$ της ακτής θα πρέπει να αποβιβαστεί από την λέμβο, ώστε διανύοντας το διάστημα $\displaystyle{\Sigma A }$ πεζός να χρειάζεται τον ελάχιστο χρόνο μετάβασης από την θέση $\displaystyle{\Lambda}$ της λέμβου στην θέση $\displaystyle{A}$ . Η ταχύτητα της λέμβου είναι $\displaystyle{3}$ χιλιόμετρα την ώρα και η ταχύτητα του κωπηλατιστή πάνω στο έδαφος είναι $\displaystyle{4}$ χιλιόμετρα την ώρα.

4. Έχουμε ζυγαριά της οποία τα δυο σκέλη είναι άνισα. Ζυγίζουμε ένα σώμα και βρίσκουμε οτι έχει βάρος από το ένα σκέλος $\displaystyle{ 9,6}$ κιλά και από το άλλο σκέλος $\displaystyle{10}$ και $\displaystyle{\frac{5}{12}}$ κιλά. Να βρεθεί το πραγματικό βάρος του σώματος.

Γιώργος Απόκης · #2

parmenides51 έγραψε: 2. Δυο κινητά $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ απομακρύνονται με την ίδια ταχύτητα από την κορυφή $\displaystyle{O}$ και πάνω στις πλευρές $\displaystyle{Ox}$ και $\displaystyle{Oy}$ ορθής γωνίας. Σε χρόνο μηδέν απέχουν από την κορυφή $\displaystyle{O}$ της γωνίας αντίστοιχα $\displaystyle{6}$ μέτρα και $\displaystyle{1}$ μέτρο. Στο τέλος του πρώτου δευτερολέπτου απέχουν μεταξύ τους $\displaystyle{10}$ μέτρα. Στο τέλους του τρίτου δευτερολέπτου απέχουν μεταξύ τους $\displaystyle{ 20}$ μέτρα. Να βρεθούν οι ταχύτητες των κινητών.

Έστω $\displaystyle{v_1,v_2}$ οι ταχύτητες. Τότε μετά από χρόνο $\displaystyle{1~sec}$ τα κινητά θα βρίσκονται στα σημεία $\displaystyle{M(6+v_1,0),~C(0,1+v_2)}$ αντίστοιχα

και μετά από χρόνο $\displaystyle{3~sec}$ θα βρίσκονται στα σημεία $\displaystyle{N(6+3v_1,0),~D(0,1+3v_2)}$ αντίστοιχα. Ισχύουν

$\displaystyle{(CM)=10\Leftrightarrow (6+v_1)^2+(1+v_2)^2=100\Leftrightarrow v_1^2+v_2^2+12v_1+2v_2=63~(1)}$

$\displaystyle{(DN)=20\Leftrightarrow (6+3v_1)^2+(1+3v_2)^2=400\Leftrightarrow 9v_1^2+9v_2^2+36v_1+6v_2=363~(2)}$ .

Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της (1) με το $\displaystyle{9}$ και αφαιρούμε κατά μέλη με την (2) :

$\displaystyle{72v_1+12v_2=204\overset{:12}\Leftrightarrow 6v_1+v_2=17\Leftrightarrow v_2=17-6v_1}$ και με αντικατάσταση στην (1)

$\displaystyle{v_1^2+(17-6v_1)^2+12v_1+2(17-6v_1)=63\Leftrightarrow 37v_1^2-204v_1+260=0\Leftrightarrow v_1=2~\acute{\eta}~v_1=\frac{130}{37}}$

Για $\displaystyle{v_1=2}$ έχουμε $\displaystyle{v_2=5}$ και για $\displaystyle{v_1=\frac{130}{37}}$ έχουμε $\displaystyle{v_2=-\frac{151}{37}<0}$

ΕΜΠ 1958 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. ΜΗΧ.

ΕΜΠ 1958 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1958 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. ΜΗΧ.

Μέλη σε σύνδεση