ΕΜΠ 1958 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXAN. ΜΗΧ.

parmenides51 · #1

Εξεταστής: Ν.Κρητικός

1. Έστω η εξίσωση $\displaystyle{ \frac{1-\alpha x}{1+\alpha x}=\sqrt[3]{\frac{1-\beta x}{1+\beta x}}}$ . Να βρεθούν όλες οι λύσεις της, πραγματικές και φανταστικές, και να διερευνηθεί το είδος τους για τις διάφορες τιμές του λόγου $\displaystyle{\frac{\beta}{\alpha}}$ , όπου $\displaystyle{\alpha,\beta}$ είναι αυθαίρετοι δεδομένοι θετικοί αριθμοί.

2. Τι ονομάζεται σύμμετρος (ή ρητός) αριθμός; Πώς έπεται από τον ορισμό σας οτι οι αριθμοί $\displaystyle{ 0,\pm 1, \pm 2, \pm 3, ...}$ είναι σύμμετροι; Εαν $\displaystyle{ \sigma_1}$ και $\displaystyle{\sigma_2}$ είναι σύμμετροι, να δειχθεί οτι το πηλίκο $\displaystyle{\frac{\sigma_1}{\sigma_2}}$ ενός σύμμετρου $\displaystyle{\sigma_1}$ με έναν σύμμετρο $\displaystyle{\sigma_2\ne 0}$ , είναι αριθμός επίσης σύμμετρος. Στη συνέχεια να αποδείξετε οτι η εξίσωση $\displaystyle{2x^3+2x^2y+y^3=0}$ δεν έχει κανένα άλλο ζεύγος σύμμετρων λύσεων πλην της $\displaystyle{x=y=0}$ .

3. Ονομάζουμε λύση μιας εξίσωσης $\displaystyle{\sigma(x,y,w)=0}$ με $\displaystyle{3}$ άγνωστους $\displaystyle{x,y,w}$ κάθε τριάδα τιμών $\displaystyle{(x',y',w') }$ των αγνώστων η οποία επαληθεύει την εξίσωση. Δυο τριάδες αριθμών $\displaystyle{(x',y',w')}$ και $\displaystyle{(x'',y'',w'')}$ λέγονται διαφορετικές όταν $\displaystyle{|x'-x''|+ |y'-y''|+ |w'-w''|\ne 0}$ . (Εξηγήστε με τι ισοδυναμεί αυτή η ανισότητα.) Να προσδιορίσετε τώρα τους συντελεστές των αγνώστων και του γνωστού όρου κάθε πρωτοβάθμιας ως προς $\displaystyle{x,y,w}$ εξίσωσης η οποία έχει ως λύσεις και τις τρεις τριάδες αριθμών $\displaystyle{(0,0,0),(x_1,y_1,w_1),(x_2,y_2,w_2)}$ .
Οι τριάδες αυτές υπόκεινται στον μοναδικό περιορισμό να είναι ανα δύο διαφορετικές, ως εκ τούτου πρέπει να διερευνήσετε το αποτέλεσμά σας ως προς τις δυο περιπτώσεις που μπορούν να παρουσιαστούν. Να δώσετε και τα αντίστοιχα αριθμητικά παραδείγματα.

edit's
προσθήκη εξεταστή
προσθήκη παραγράφου στο 3ο θέμα, κατόπιν διασταύρωσης των πηγών της συγκεκριμένης εξέτασης

#2

parmenides51 έγραψε:1. Έστω η εξίσωση $\displaystyle{ \frac{1-\alpha x}{1+\alpha x}=\sqrt[3]{\frac{1-\beta x}{1+\beta x}}}$ . Να βρεθούν όλες οι λύσεις της, πραγματικές και φανταστικές, και να διερευνηθεί το είδος τους για τις διάφορες τιμές του λόγου $\displaystyle{\frac{\beta}{\alpha}}$ , όπου $\displaystyle{\alpha,\beta}$ είναι αυθαίρετοι δεδομένοι θετικοί αριθμοί.

(Τότε οριζόταν στο $\displaystyle{R}$ η κυβική ρίζα αρνητικού αριθμού)

Υψώνοντας ισοδύναμα στον κύβο τα μέλη της δοθείσας εξισώσεως, βρίσκουμε: (όπου πρέπει: $\displaystyle{x\neq -\frac{1}{a}, -\frac{1}{\beta}}$ )

$\displaystyle{(1-ax)^3 (1+\beta x)=(1-\beta x)(1+ax)^3 \Leftrightarrow x[(2a^3 -6a^2 \beta )x^2 +6a-2\beta ]=0}$

Άρα $\displaystyle{x=0}$ , (λύση που είναι δεκτή) ή $\displaystyle{(a^3 -3a^2 \beta )x^2 =\beta -3a}$ , (1)

1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{a^2 (a-3\beta )\neq 0 \Leftrightarrow }$ (δεδομένου ότι $\displaystyle{a>0}$ ) $\displaystyle{a\neq 3\beta}$

Τότε η (1) γράφεται: $\displaystyle{x^2 =\frac{\beta -3a}{a^2 (a-3\beta )}}$ . Για να έχει ρίζες πραγματικές η εξίσωση αυτή,

πρέπει $\displaystyle{a^2 (a-3\beta )(\beta -3a)\geq 0\Leftrightarrow a\beta -3\beta ^2 -3a^2 +9a\beta \geq 0\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{3(\frac{\beta}{a})^2 -10\frac{\beta}{a}+3\leq 0\Leftrightarrow \frac{1}{3}<\frac{\beta}{a}\leq 3}$

Tότε αν $\displaystyle{\frac{1}{3}<\frac{\beta}{a}\leq 3}$ , η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές τις

$\displaystyle{x_1 = \sqrt{\frac{\beta -3a}{a^2 (a-3\beta )}} , x_2 =- \sqrt{\frac{\beta -3a}{a^2 (a-3\beta )}} }$

(όπου πρέπει επί πλέον να είναι $\displaystyle{x_2 \neq -\frac{1}{a}}$ και $\displaystyle{x_2 \neq -\frac{1}{\beta}}$ , δηλαδή:

$\displaystyle{a\beta -3\beta ^2 -3a^2 +9a\beta \geq 0}$ και $\displaystyle{a\neq \beta}$ .)

, ενώ αν $\displaystyle{0<\frac{\beta}{a}<\frac{1}{3}}$ ή $\displaystyle{\frac{\beta}{a}>3}$ ,

η εξίσωση έχει ρίζες φανταστικές τις $\displaystyle{x_1 = i\sqrt{\frac{\beta -3a}{a^2 (a-3\beta )}} , x_2 =-i \sqrt{\frac{\beta -3a}{a^2 (a-3\beta )}}}$

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{a=3\beta}$ . Τότε η (1) γράφεται: $\displaystyle{0x^2 =-8\beta}$ , η οποία είναι αδύνατη,

αφού $\displaystyle{\beta >0}$ .

ArgirisM · #3

parmenides51 έγραψε:2. Τι ονομάζεται σύμμετρος (ή ρητός) αριθμός; Πώς έπεται από τον ορισμό σας οτι οι αριθμοί $\displaystyle{ 0,\pm 1, \pm 2, \pm 3, ...}$ είναι σύμμετροι; Εαν $\displaystyle{ \sigma_1}$ και $\displaystyle{\sigma_2}$ είναι σύμμετροι, να δειχθεί οτι το πηλίκο $\displaystyle{\frac{\sigma_1}{\sigma_2}}$ ενός σύμμετρου $\displaystyle{\sigma_1}$ με έναν σύμμετρο $\displaystyle{\sigma_2\ne 0}$ , είναι αριθμός επίσης σύμμετρος. Στη συνέχεια να αποδείξετε οτι η εξίσωση $\displaystyle{2x^3+2x^2y+y^3=0}$ δεν έχει κανένα άλλο ζεύγος σύμμετρων λύσεων πλην της $\displaystyle{x=y=0}$ .

Αφήνω το πρώτο κομμάτι της άσκησης, το οποίο είναι θεωρία, και πηγαίνω κατευθείαν στην εξίσωση. Έστω $y \neq 0$ . Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα $2(\frac{x}{y})^3 + 2(\frac{x}{y})^2 + 1 = 0$ . Θέτουμε $\frac{x}{y} = a \in Q$ (το τελευταίο συμπέρασμα σύμφωνα με τη σχετική θεωρία...) οπότε έχουμε 2a^3 + 2a^2 + 1 = 0

. Από το θεώρημα των ρητών ριζών προκύπτει πως πιθανές ρητές ρίζες είναι οι $\pm 1, \pm \frac{1}{2}$ . Με δοκιμές διαπιστώνουμε πως καμία από αυτές δεν επαληθεύει την αρχική εξίσωση. Έτσι, συμπεραίνουμε για την αρχική εξίσωση πως η μοναδική ρητή της λύση είναι η (x, y) = (0, 0)

.
edit: Διορθώθηκε το λάθος στον έκθετη, καθώς και τα συνακόλουθα. Ευχαριστώ τον κύριο Μάγκο (matha) και τον Αντώνη (Antonis_Z) που το πρόσεξαν.

ΕΜΠ 1958 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXAN. ΜΗΧ.

ΕΜΠ 1958 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXAN. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1958 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXAN. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1958 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXAN. ΜΗΧ.

Μέλη σε σύνδεση