ΙΚΑΡΩΝ 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{ \log \left(\log \frac{5x+2}{-2x+5}\right)=0}$

2. Να βρεθεί μιγαδικός αριθμός $\displaystyle{z}$ που να ικανοποιεί την εξίσωση $\displaystyle{\frac{z}{z_1}+z_2=(z_1-z_2)^2}$ όπου $\displaystyle{z_1=1-2i}$ και $\displaystyle{ z_2=3-4i}$

3. Να δείξετε οτι η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=x^2-4x+3 }$ είναι φθίνουσα στο διάστημα $\displaystyle{ x\le 2}$ και αύξουσα στο διάστημα $\displaystyle{x\ge 2}$ .
Να σχηματίσετε πίνακα μεταβολών. Να καθορίσετε το σχετικό ακρότατο.

4. α) Εαν $\displaystyle{\beta>1}$ , να δείξετε οτι το άθροισμα $\displaystyle{\Sigma=(\beta-1)+(\beta^2-\beta)+(\beta^3-\beta^2)+...+(\beta^{\nu}-\beta^{\nu-1 })}$ ισούται με $\displaystyle{\beta^{\nu}-1}$
β) Μετά να δείξετε την ισότητα $\displaystyle{\beta^{\nu}-1=(\beta-1)(1+\beta)(1+\beta+\beta^2+...+\beta^{\nu-1} )}$

5. Να βρεθούν διαστήματα τέτοια ώστε όταν το $\displaystyle{x}$ διατρέχει αυτά, η τιμή της παράστασης $\displaystyle{A=|x-2|-2|x-3|+|x-4|}$ να είναι σταθερή.

Υ.Γ. Την χρονιά 1972 στο σχετικό Δελτίο του Πάλλα δεν περιλαμβάνονται θέματα Τριγωνομετρίας στις σχολές Ικάρων και ΣΜΑ, στα οποία λογικά εξετάστηκαν. Αν κάποιος τα έχει από άλλη πηγή, θα χαιρόμασταν ιδιαίτερα εαν τα μετέφερε -για λόγους πληρότητας- εδώ στο

.

edit
αφαίρεση σχολίου για τα θέματα Γεωμετρίας που τα ψάχναμε τότε μιας και τα βρήκαμε

#2

parmenides51 έγραψε:1. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{ \log \left(\log \frac{5x+2}{-2x+5}\right)=0}$

$\displaystyle{\frac{{5x + 2}}{{ - 2x + 5}} > 0 \Leftrightarrow (5x + 2)( - 2x + 5) > 0 \Leftrightarrow - \frac{2}{5} < x < \frac{5}{2}}$
Ελλιπής περιορισμός όπως πολύ σωστά παρατήρησε ο chris_gatos

Το συμπληρώνω: $\displaystyle{\frac{{5x + 2}}{{ - 2x + 5}} > 1 \Leftrightarrow \frac{{5x + 2 + 2x - 5}}{{ - 2x + 5}} > 0 \Leftrightarrow \frac{{7x - 3}}{{ - 2x + 5}} \Leftrightarrow \frac{3}{7} < x < \frac{5}{2}}$

Άρα πρέπει $\displaystyle{x \in \left( {\frac{3}{7},\frac{5}{2}} \right)}$ .

$\displaystyle{\log \left( {\log \frac{{5x + 2}}{{ - 2x + 5}}} \right) = \log 1 \Leftrightarrow \log \frac{{5x + 2}}{{ - 2x + 5}} = \log 10 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\frac{{5x + 2}}{{ - 2x + 5}} = 10 \Leftrightarrow x = \frac{{48}}{{25}}}$

Η λύση είναι δεκτή αφού $\displaystyle{x \in \left( {\frac{3}{7},\frac{5}{2}} \right)}$ και όχι $\displaystyle{x \in \left( { - \frac{2}{5},\frac{5}{2}} \right)}$ .

#3

parmenides51 έγραψε:1. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{ \log \left(\log \frac{5x+2}{-2x+5}\right)=0}$

Έστω

μία λύση της εξ'ισωσης. Τότε θα ισχύει $\displaystyle{\log \left( {\frac{{5x + 2}}{{ - 2x + 5}}} \right) = {10^0} \Rightarrow \frac{{5x + 2}}{{ - 2x + 5}} = {10^1} \Rightarrow - 20x + 50 = 5x + 2 \Rightarrow - 25x = - 48 \Rightarrow x = \frac{{48}}{{25}}}$

Ο αριθμός $\frac{48}{25}$ επαληθεύει αφού:

$\displaystyle{\frac{{5\frac{{48}}{{25}} + 2}}{{ - 2\frac{{48}}{{25}} + 5}} = \frac{{\frac{{58}}{5}}}{{\frac{{29}}{{25}}}} = 10}$

Σημειώνω πως αν θελήσουμε λύση με περιορισμούς όπως παραπάνω πρέπει να συναληθεύσουμε και την περίπτωση $\displaystyle{\log \left( {\frac{{5x + 2}}{{ - 2x + 5}}} \right) > 0}$
γιατί ενδεχομένως να βρούμε λύση που δεν επαληθεύει αν μείνουμε μόνο στον αρχικό περιορισμό. Καλό βράδυ!

george visvikis έγραψε:
parmenides51 έγραψε:1. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{ \log \left(\log \frac{5x+2}{-2x+5}\right)=0}$
$\displaystyle{\frac{{5x + 2}}{{ - 2x + 5}} > 0 \Leftrightarrow (5x + 2)( - 2x + 5) > 0 \Leftrightarrow - \frac{2}{5} < x < \frac{5}{2}}$

$\displaystyle{\log \left( {\log \frac{{5x + 2}}{{ - 2x + 5}}} \right) = \log 1 \Leftrightarrow \log \frac{{5x + 2}}{{ - 2x + 5}} = \log 10 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\frac{{5x + 2}}{{ - 2x + 5}} = 10 \Leftrightarrow x = \frac{{48}}{{25}}}$

Η λύση είναι δεκτή αφού $\displaystyle{\frac{{48}}{{25}} \in \left( { - \frac{2}{5},\frac{5}{2}} \right)}$

#4

chris_gatos έγραψε:
parmenides51 έγραψε:1. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{ \log \left(\log \frac{5x+2}{-2x+5}\right)=0}$
Έστω μία λύση της εξ'ισωσης. Τότε θα ισχύει $\displaystyle{\log \left( {\frac{{5x + 2}}{{ - 2x + 5}}} \right) = {10^0} \Rightarrow \frac{{5x + 2}}{{ - 2x + 5}} = {10^1} \Rightarrow - 20x + 50 = 5x + 2 \Rightarrow - 25x = - 48 \Rightarrow x = \frac{{48}}{{25}}}$

Ο αριθμός $\frac{48}{25}$ επαληθεύει αφού:

$\displaystyle{\frac{{5\frac{{48}}{{25}} + 2}}{{ - 2\frac{{48}}{{25}} + 5}} = \frac{{\frac{{58}}{5}}}{{\frac{{29}}{{25}}}} = 10}$

Σημειώνω πως αν θελήσουμε λύση με περιορισμούς όπως παραπάνω πρέπει να συναληθεύσουμε και την περίπτωση $\displaystyle{\log \left( {\frac{{5x + 2}}{{ - 2x + 5}}} \right) > 0}$
γιατί ενδεχομένως να βρούμε λύση που δεν επαληθεύει αν μείνουμε μόνο στον αρχικό περιορισμό. Καλό βράδυ!

george visvikis έγραψε:
parmenides51 έγραψε:1. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{ \log \left(\log \frac{5x+2}{-2x+5}\right)=0}$
$\displaystyle{\frac{{5x + 2}}{{ - 2x + 5}} > 0 \Leftrightarrow (5x + 2)( - 2x + 5) > 0 \Leftrightarrow - \frac{2}{5} < x < \frac{5}{2}}$

$\displaystyle{\log \left( {\log \frac{{5x + 2}}{{ - 2x + 5}}} \right) = \log 1 \Leftrightarrow \log \frac{{5x + 2}}{{ - 2x + 5}} = \log 10 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\frac{{5x + 2}}{{ - 2x + 5}} = 10 \Leftrightarrow x = \frac{{48}}{{25}}}$

Η λύση είναι δεκτή αφού $\displaystyle{\frac{{48}}{{25}} \in \left( { - \frac{2}{5},\frac{5}{2}} \right)}$

Έχεις δίκιο για τον περιορισμό $\displaystyle{\log \left( {\frac{{5x + 2}}{{ - 2x + 5}}} \right) > 0}$ . Καθαρή αβλεψία

ΙΚΑΡΩΝ 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

ΙΚΑΡΩΝ 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση