NΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1972 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Να κατασκευαστεί τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ αν γνωρίζουμε την πλευρά $\displaystyle{ A\Gamma=\beta}$ , την διχοτόμο $\displaystyle{A\Delta }$ της γωνίας $\displaystyle{\widehat{A}}$ και οτι η διαφορά $\displaystyle{\widehat{B}-\widehat{\Gamma}=90^o}$

2. Εαν δυο τρίεδρες στερεές γωνίες έχουν τις τρεις έδρες τους ίσες μια προς μια, τότε αυτές είναι ίσες ή συμμετρικές;

3. Εαν μια από τις κάθετες πλευρές , έστω η $\displaystyle{AB}$ , ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι διάμετρος κύκλου, η εφαπτομένη του κύκλου αυτού στο σημείο τομής της $\displaystyle{ M}$ με την υποτείνουσα, διέρχεται από το μέσο της άλλης κάθετου πλευράς $\displaystyle{A\Gamma}$ .

4. Σε τετράγωνο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ φέρνουμε ευθεία που τέμνει τις απέναντι πλευρές του $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{ \Gamma\Delta}$ στα σημεία $\displaystyle{M}$ και $\displaystyle{N}$ . Κατόπιν φέρνουμε κάθετη στην $\displaystyle{MN}$ που τέμνει τις άλλες δυο πλευρές στα σημεία $\displaystyle{K}$ και $\displaystyle{ \Lambda}$ . Να αποδειχθεί οτι $\displaystyle{MN =K\Lambda}$

#2

: 14.png (10.25 KiB) Προβλήθηκε 1322 φορές

parmenides51 έγραψε: 3. Εαν μια από τις κάθετες πλευρές , έστω η $\displaystyle{AB}$ , ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι διάμετρος κύκλου, η εφαπτομένη του κύκλου αυτού στο σημείο τομής της $\displaystyle{ M}$ με την υποτείνουσα, διέρχεται από το μέσο της άλλης κάθετου πλευράς $\displaystyle{A\Gamma}$

.

Έστω

το σημείο στο οποίο η εφαπτομένη τέμνει την $\displaystyle{{\rm A}\Gamma }$ .
Είναι MN=NA

και $\displaystyle{{\rm A}\widehat {\rm M}{\rm N} = \widehat {\rm B} = {90^0} - \widehat \Gamma }$ .

Αλλά από το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{{\rm M}{\rm A}\Gamma }$ , είναι $\displaystyle{{\rm A}\widehat {\rm M}{\rm N} = {90^0} - {\widehat {\rm M}_1}}$ .

Άρα, $\displaystyle{{\widehat {\rm M}_1} = \widehat \Gamma \Leftrightarrow {\rm N}\Gamma = {\rm M}{\rm N} = {\rm N}{\rm A}}$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

parmenides51 έγραψε: 4. Σε τετράγωνο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ φέρνουμε ευθεία που τέμνει τις απέναντι πλευρές του $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{ \Gamma\Delta}$ στα σημεία $\displaystyle{M}$ και $\displaystyle{N}$ . Κατόπιν φέρνουμε κάθετη στην $\displaystyle{MN}$ που τέμνει τις άλλες δυο πλευρές στα σημεία $\displaystyle{K}$ και $\displaystyle{ \Lambda}$ . Να αποδειχθεί οτι $\displaystyle{MN =K\Lambda}$

Το συγκεκριμένο θέμα μπορεί να χαρακτηριστεί ως δώρο για τους υποψηφίους της εποχής...
Το πρωτοείδα όταν πήγαινα Α' Λυκείου στο σχολικό βιβλίο της Α' Λυκείου των Παπαμιχαήλ-Σκιαδά , συγκεκριμένα στη σελίδα 113 , άσκηση 21.

Φέρουμε την κάθετη από το

προς την $\Gamma \Delta$ , η οποία τέμνει τη $\Gamma \Delta$ στο

.
Φέρουμε την κάθετη από το

προς την $B\Gamma$ , η οποία τέμνει τη $B\Gamma$ στο

.
Συγκρίνουμε τα ορθογώνια τρίγωνα $EK\Lambda ,PMN$ .
Αυτά έχουν
πρώτον
EK=PM

ως ίσες με την πλευρά του τετραγώνου $AB\Gamma \Delta$ , όπως εύκολα γίνεται αντιληπτό

και δεύτερον
$P\hat{M}N=E\hat{K}\Lambda$
ως οξείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες .

Έτσι λοιπόν είναι ίσα και το συμπέρασμα προκύπτει άμεσα.

#4

parmenides51 έγραψε:1. Να κατασκευαστεί τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ αν γνωρίζουμε την πλευρά $\displaystyle{ A\Gamma=\beta}$ , την διχοτόμο $\displaystyle{A\Delta }$ της γωνίας $\displaystyle{\widehat{A}}$ και οτι η διαφορά $\displaystyle{\widehat{B}-\widehat{\Gamma}=90^o}$

Γεια σου parm, Γεια σου Τηλέμαχε.

Ανάλυση: Έστω ότι το τρίγωνο κατασκευάστηκε και έχει $A\Delta=\delta, A\Gamma=\beta$ και $B-\Gamma=90^0$ .

Αν

είναι το ύψος του τριγώνου, τότε είναι γνωστό ότι $\displaystyle{{\rm E}\widehat {\rm A}\Delta = \frac{{\widehat {\rm B} - \widehat \Gamma }}{2} = {45^0}}$ .

Δηλαδή το τρίγωνο $EA\Delta$ είναι κατασκευάσιμο, ως ορθογώνιο και ισοσκελές με υποτείνουσα γνωστού μήκους. Παρατηρούμε επίσης ότι $\displaystyle{{\rm A}\widehat {\rm B}\Gamma = {90^0} + {\rm E}\widehat {\rm A}{\rm B} = {90^0} + \widehat \Gamma \Leftrightarrow {\rm E}\widehat {\rm A}{\rm B} = \widehat \Gamma }$

: Ν. Δοκίμων-1.png (9.89 KiB) Προβλήθηκε 1217 φορές

Κατασκευή: Κατασκευάζουμε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $EA\Delta$ με υποτείνουσα $A\Delta=\delta$ . Στη συνέχεια με κέντρο το

και ακτίνα ίση με $\beta$ γράφουμε τόξο που τέμνει την προέκταση της $E\Delta$ προς το $\Delta$ σ' ένα σημείο $\Gamma$ . Ύστερα φέρνουμε ημιευθεία

εσωτερική της γωνίας $E\widehat A\Delta$ τέτοια ώστε, $\displaystyle{{\rm E}\widehat {\rm A}x = {\rm A}\widehat \Gamma \Delta }$ . Αν η

τέμνει την $E\Gamma$ στο σημείο

τότε το $AB\Gamma$ είναι το ζητούμενο τρίγωνο.

: Ν. Δοκίμων-1b.png (11.01 KiB) Προβλήθηκε 1217 φορές

Απόδειξη: Το τρίγωνο $AB\Gamma$ έχει από κατασκευής $A\Gamma=\beta$ και $\displaystyle{\widehat {\rm B} = \widehat \Gamma + {90^0}}$ . Εξάλλου είναι:
$\displaystyle{\widehat {\rm A} + \widehat {\rm B} + \widehat \Gamma = {180^0} \Leftrightarrow \widehat {\rm A} + 2\widehat \Gamma = {90^0} \Leftrightarrow \frac{{\widehat {\rm A}}}{2} = 45 - \widehat \Gamma \Leftrightarrow {\rm B}\widehat {\rm A}\Delta = \frac{{\widehat {\rm A}}}{2}}$

Άρα η $A\Delta=\delta$ είναι διχοτόμος του τριγώνου. Οπότε το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι το ζητούμενο.

Διερεύνηση: Για να έχει το πρόβλημα λύση πρέπει $\displaystyle{\beta > \delta }$ .

NΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1972 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

NΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1972 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: NΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1972 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: NΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1972 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: NΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1972 - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση