NΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1972 - ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{ \begin{cases} \displaystyle\frac{4}{xy}- \frac{5}{yz}=-1 \\ \displaystyle \,\,\frac{10}{zx}+ \frac{2}{xy}=\frac{4}{3}\\ \displaystyle-\frac{3}{yz}+ \frac{4}{zx}=1 \end{cases}}$

2. Τι γνωρίζετε για την παράσταση μιγαδικού σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και για την τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού;

3. Να ορισθεί η τιμή του $\displaystyle{\lambda}$ ώστε οι τέσσερις ρίζες $\displaystyle{ \rho_1,\rho_2,\rho_3,\rho_4}$ της εξίσωσης $\displaystyle{x^4-(3\lambda +4)x^2+(\lambda+1)^2=0}$
να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου.

4. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{ \begin{cases} x^{\log y}+y^{\log x}=20\\ \log \sqrt{xy}=1 \end{cases}}$

hlkampel · #2

parmenides51 έγραψε: 4. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{ \begin{cases} x^{\log y}+y^{\log x}=20\\ \log \sqrt{xy}=1 \end{cases}}$

Με

,

και επειδή $\displaystyle {x^{{\mathop{\rm logy}\nolimits} }} = {y^{\log x}}\;\left( * \right)$ οι εξισώσεις ισοδύναμα γίνονται:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {x^{\log y}} + {x^{\log y}} = 20\\ \log \sqrt x + \log \sqrt y = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^{\log y}} = 10\\ \frac{1}{2}\log x + \frac{1}{2}\log y = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \log x \cdot \log y = 1\\ \log x + \log y = 2 \end{array} \right.$

Οι $\log x,\;\log y$ είναι λύσεις της εξίσωσης ${w^2} - 2w + 1 = 0 \Leftrightarrow w = 1$ (διπλή ρίζα)

Άρα $\log x = 1 \Leftrightarrow x = 10$ και $\log y = 1 \Leftrightarrow y = 10$ οπότε η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος $\left( {x,y} \right) = \left( {10,10} \right)$

$\left( * \right){x^{{\mathop{\rm logy}\nolimits} }} = {y^{\log x}} \Leftrightarrow \log {x^{{\mathop{\rm logy}\nolimits} }} = \log {y^{\log x}} \Leftrightarrow \log x \cdot \log y = \log x \cdot \log y$ που ισχύει

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

parmenides51 έγραψε: 3. Να ορισθεί η τιμή του $\displaystyle{\lambda}$ ώστε οι τέσσερις ρίζες $\displaystyle{ \rho_1,\rho_2,\rho_3,\rho_4}$ της εξίσωσης $\displaystyle{x^4-(3\lambda +4)x^2+(\lambda+1)^2=0}$
να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου.

Πρόκειται για το κλασσικότερο θέμα που έπεφτε!!!!
Αυτό τουλάχιστον μπορώ να διαπιστώσω βλέποντας τα θέματα της '' παλιάς εποχής '' που δημοσίευσε ο parmenides51...
Συγκεκριμένα έπεσε
1. ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ 1958
2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΑΘΗΝΑΣ 1962
3. ΙΚΑΡΩΝ 1962
4. ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1965
5. ΙΚΑΡΩΝ 1971
Όλα τα αντίστοιχα προαναφερθέντα θέματα έχουν λυθεί στο

Φαντάζομαι το πόσο συχνά θα το έλυναν στα φροντιστήρια....
Τα γράφω όλα αυτά γιατί το θέμα επανήλθε , πολύ εμφατικά μάλιστα , το 2000 και το 2005 στο διαγωνισμό του ΑΣΕΠ Μαθηματικών. Το 2000 είχε θεωρηθεί και δύσκολο από πολλούς....

Δεν πρόκειται να το λύσω αναλυτικά , αυτό το έκανα στο ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ 1958
και στο ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1965 , δεν υπάρχει λόγος να επαναλαμβάνω τα ίδια....

Απλά θα γράψω ότι για να υπάρχουν οι τέσσερις πραγματικές ρίζες της διτετράγωνης απαιτείται
$\lambda \epsilon \left(-\frac{6}{5},-1 \right)\bigcup{\left(-1,\propto \right)}$ .
Τελικά βρίσκεται ότι
$\lambda =2 , \lambda =-\frac{22}{19}$
τιμές που και οι δύο γίνονται δεκτές.

Γιώργος Απόκης · #4

parmenides51 έγραψε:1. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{ \begin{cases} \displaystyle\frac{4}{xy}- \frac{5}{yz}=-1 \\ \displaystyle \,\,\frac{10}{zx}+ \frac{2}{xy}=\frac{4}{3}\\ \displaystyle-\frac{3}{yz}+ \frac{4}{zx}=1 \end{cases}}$

Με $\displaystyle{xyz\ne 0}$ και θέτοντας $\displaystyle{\frac{1}{xy}=a,\frac{1}{yz}=b,\frac{1}{zx}=c}$ έχουμε το ισοδύναμο σύστημα : $\displaystyle{\begin{cases} 4a-5b=-1\\10c+2a=\frac{4}{3} \\-3b+4c=1 \end{cases}}$

Απαλείφουμε το $\displaystyle{a}$ μεταξύ 1ης και 2ης εξίσωσης και λύνουμε το σύστημα με την 3η. Έχουμε έτσι : $\displaystyle{b=-\frac{1}{15},c=\frac{1}{5}}$

και με αντικατάσταση στην 1η : $\displaystyle{a=-\frac{1}{3}}$ . Επομένως $\displaystyle{\begin{cases} \frac{1}{xy}=-\frac{1}{3} \\\frac{1}{yz}=-\frac{1}{15} \\\frac{1}{zx}=\frac{1}{5} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} xy=-3 \\yz=-15 \\zx=5 \end{cases}}$

Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη και έχουμε : $\displaystyle{(xyz)^2=15^2\Leftrightarrow xyz=15~\acute{\eta}~xyz=-15}$

$\displaystyle{\bullet }$ Aν $\displaystyle{xyz=15}$ έχουμε $\displaystyle{x=-1,y=3,z=-5}$

$\displaystyle{\bullet }$ Aν $\displaystyle{xyz=-15}$ έχουμε $\displaystyle{x=1,y=-3,z=5}$

Christos.N · #5

parmenides51 έγραψε:1. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{ \begin{cases} \displaystyle\frac{4}{xy}- \frac{5}{yz}=-1 \\ \displaystyle \,\,\frac{10}{zx}+ \frac{2}{xy}=\frac{4}{3}\\ \displaystyle-\frac{3}{yz}+ \frac{4}{zx}=1 \end{cases}}$

Έστω $\displaystyle{x \cdot y \cdot z = c,\,c \in R^* }$ τότε το σύστημα μετασχηματίζεται:

$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} \frac{4}{{xy}} - \frac{5}{{yz}} = - 1 \\ \frac{{10}}{{zx}} + \frac{2}{{xy}} = \frac{4}{3} \\ - \frac{3}{{yz}} + \frac{4}{{zx}} = 1 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4z - 5x = - c \\ 10y + 2z = \frac{4}{3}c \\ - 3x + 4y = c \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{4}{5}z + \frac{c}{5} \\ y = - \frac{1}{5}z + \frac{2}{{15}}c \\ - 3\left( {\frac{4}{5}z + \frac{c}{5}} \right) + 4\left( { - \frac{1}{5}z + \frac{2}{{15}}c} \right) = c \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{4}{5}z + \frac{c}{5} \\ y = - \frac{1}{5}z + \frac{2}{{15}}c \\ z = - \frac{1}{3}c \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - \frac{c}{{15}} \\ y = \frac{1}{5}c \\ z = - \frac{1}{3}c \\ \end{array} \right. }$

Από την αρχική μας θεώρηση έχουμε:
$\displaystyle{ xyz = c \Rightarrow \frac{1}{{225}}c^3 = c \Rightarrow c^2 = 225 \Rightarrow c = \pm 15 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {x,y,z} \right) = \left( { - 1,3, - 5} \right) \\ \left( {x,y,z} \right) = \left( {1, - 3,5} \right) \\ \end{array} \right. }$

NΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1972 - ΑΛΓΕΒΡΑ

NΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1972 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: NΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1972 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: NΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1972 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: NΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1972 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: NΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1972 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση