KATEΕ 1978 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

parmenides51 · #1

1. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\frac{x}{x^2+1}=\frac{5}{2}- \frac{x^2+1}{x}}$

2. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} x^2+y^2=425 \\ \log x+\log y=2 \end{cases}}$ . Οι λογάριθμοι είναι με βάση το $\displaystyle{ 10}$ .

3. Τρεις πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{x,y,z}$ έχουν άθροισμα $\displaystyle{70}$ .
Ο δεύτερος $\displaystyle{y}$ όταν διαιρεθεί με τον πρώτο $\displaystyle{x}$ δίνει πηλίκο $\displaystyle{2}$ και υπόλοιπο $\displaystyle{ 1}$ δηλαδή $\displaystyle{y=2x+1}$ ,
ο τρίτος $\displaystyle{z}$ όταν διαιρεθεί με τον δεύτερο $\displaystyle{ y}$ δίνει πηλίκο $\displaystyle{3}$ και υπόλοιπο $\displaystyle{3}$ δηλαδή $\displaystyle{z=3y+3}$ .
Να βρεθούν οι τρεις αυτοί πραγματικοί αριθμοί.

Γιώργος Απόκης · #2

parmenides51 έγραψε:1. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\frac{x}{x^2+1}=\frac{5}{2}- \frac{x^2+1}{x}}$

Η εξίσωση ορίζεται για $\displaystyle{x\ne 0}$ . Θέτουμε $\displaystyle{y=\frac{x}{x^2+1}\ne 0}$ και έχουμε την εξίσωση :

$\displaystyle{y=\frac{5}{2}-\frac{1}{y}\Leftrightarrow 2y^2=5y-2\Leftrightarrow 2y^2-5y+2=0\Leftrightarrow y=2~\acute{\eta}~y=\frac{1}{2}}$ .

$\displaystyle{\bullet~ y=2\Leftrightarrow \frac{x}{x^2+1}=2\Leftrightarrow 2x^2-x+2=0\Leftrightarrow x=\frac{1\pm i\sqrt{15}}{4} }$

$\displaystyle{\bullet~ y=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x^2-2x+1=0\Leftrightarrow x=1}$

Εdit : τυπογραφικό

Christos.N · #3

1. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\frac{x}{x^2+1}=\frac{5}{2}- \frac{x^2+1}{x}}$

θέτουμε $\displaystyle{ \frac{{x^2 + 1}}{x} = y,\,x \ne 0 }$ τότε η εξίσωση γίνεται
$\displaystyle{ \frac{1}{y} = \frac{5}{2} - y \Leftrightarrow 2 = 5y - 2y^2 \Leftrightarrow 2y^2 - 5y + 2 = 0 \Leftrightarrow y = 2 \vee y = \frac{1}{2} }$
Άρα
$\displaystyle{ \begin{array}{l} \frac{{x^2 + 1}}{x} = 2 \Leftrightarrow x = 1 \\ \frac{{x^2 + 1}}{x} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2x^2 - x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{4} \pm \frac{{\sqrt {15} }}{4}i \\ \end{array} }$

Christos.N · #4

2. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} x^2+y^2=425 \\ \log x+\log y=2 \end{cases}}$ . Οι λογάριθμοι είναι με βάση το $\displaystyle{ 10}$ .

$\displaystyle{ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 = 425 \\ \log x + \log y = 2 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 = 425 \\ xy = 100 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^2 + 2xy + y^2 = 625 \\ 2xy = 200 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \\ \left\{ \begin{array}{l} (x + y)^2 = 625 \\ xy = 100 \\ \end{array} \right.\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 0,y > 0} \left\{ \begin{array}{l} x + y = 25 \\ xy = 100 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 20,x = 5 \\ x = 20,y = 5 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} }$

Christos.N · #5

3. Τρεις πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{x,y,z}$ έχουν άθροισμα $\displaystyle{70}$ .
Ο δεύτερος $\displaystyle{y}$ όταν διαιρεθεί με τον πρώτο $\displaystyle{x}$ δίνει πηλίκο $\displaystyle{2}$ και υπόλοιπο $\displaystyle{ 1}$ δηλαδή $\displaystyle{y=2x+1}$ ,
ο τρίτος $\displaystyle{z}$ όταν διαιρεθεί με τον δεύτερο $\displaystyle{ y}$ δίνει πηλίκο $\displaystyle{3}$ και υπόλοιπο $\displaystyle{3}$ δηλαδή $\displaystyle{z=3y+3}$ .
Να βρεθούν οι τρεις αυτοί πραγματικοί αριθμοί.

$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 70 \\ y = 2x + 1 \\ z = 3y + 3 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & 1 & 1 \\ { - 2} & 1 & 0 \\ 0 & { - 3} & 1 \\ \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\ \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {70} \\ 1 \\ 3 \\ \end{array}} \right] \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & { - 3} & 1 \\ \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\ \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {70} \\ {141} \\ 3 \\ \end{array}} \right] \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\ \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {70} \\ {141} \\ {144} \\ \end{array}} \right] \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\ \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {70} \\ {141} \\ {48} \\ \end{array}} \right] \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\ \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {70} \\ {45} \\ {48} \\ \end{array}} \right] \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\ \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {70} \\ {15} \\ {48} \\ \end{array}} \right] \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\ \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 7 \\ {15} \\ {48} \\ \end{array}} \right] \Leftrightarrow (x,y,z) = (7,15,48) }$

Γιώργος Απόκης · #6

parmenides51 έγραψε: 2. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} x^2+y^2=425 \\ \log x+\log y=2 \end{cases}}$ . Οι λογάριθμοι είναι με βάση το $\displaystyle{ 10}$ .

Για $\displaystyle{x>0,y>0}$ η δεύτερη εξίσωση γράφεται $\displaystyle{\log (xy)=2\Leftrightarrow xy=100\Leftrightarrow 2xy=200}$ .

Προσθέτοντας με την 1η εξίσωση έχουμε : $\displaystyle{x^2+y^2+2xy=625\Leftrightarrow (x+y)^2=625\overset{x+y>0}\Leftrightarrow x+y=25}$

Από τις σχέσεις $\displaystyle{\begin{cases}xy=100 \\x+y=25 \end{cases}}$ και τους τύπους Vietta έχουμε ότι $\displaystyle{x=5,y=20~\acute{\eta}~x=20,y=5}$

Γιώργος Απόκης · #7

parmenides51 έγραψε: 3. Τρεις πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{x,y,z}$ έχουν άθροισμα $\displaystyle{70}$ .
Ο δεύτερος $\displaystyle{y}$ όταν διαιρεθεί με τον πρώτο $\displaystyle{x}$ δίνει πηλίκο $\displaystyle{2}$ και υπόλοιπο $\displaystyle{ 1}$ δηλαδή $\displaystyle{y=2x+1}$ ,
ο τρίτος $\displaystyle{z}$ όταν διαιρεθεί με τον δεύτερο $\displaystyle{ y}$ δίνει πηλίκο $\displaystyle{3}$ και υπόλοιπο $\displaystyle{3}$ δηλαδή $\displaystyle{z=3y+3}$ .
Να βρεθούν οι τρεις αυτοί πραγματικοί αριθμοί.

Έχουμε $\displaystyle{z=3y+3=3(2x+1)+3=6x+6}$ άρα $\displaystyle{x+y+z=70\Leftrightarrow x+2x+1+6x+6=70\Leftrightarrow 9x=63\Leftrightarrow x=7}$

και $\displaystyle{y=15,z=48}$ .

Εdit (6:58) Τώρα πρόσεξα τον ... καταιγισμό απαντήσεων του Χρήστου, αφήνω αφού κάποια σημεία είναι διαφορετικά

Christos.N · #8

Γιώργος Απόκης έγραψε:
Εdit (6:58) Τώρα πρόσεξα τον ... καταιγισμό απαντήσεων του Χρήστου, αφήνω αφού κάποια σημεία είναι διαφορετικά

Γιώργο αυτή είναι η ομορφιά, όλα αλλάζουν στις λεπτομέρειες, όλα είναι διαφορετικά.

Γιώργος Απόκης · #9

Christos.N έγραψε:
Γιώργος Απόκης έγραψε:
Εdit (6:58) Τώρα πρόσεξα τον ... καταιγισμό απαντήσεων του Χρήστου, αφήνω αφού κάποια σημεία είναι διαφορετικά
Γιώργο αυτή είναι η ομορφιά, όλα αλλάζουν στις λεπτομέρειες, όλα είναι διαφορετικά.

Συμφωνώ Χρήστο, η πολυφωνία είναι πάντα χρήσιμη.

Στο μεταξύ $\displaystyle{6}$ απαντήσεις μέσα σε $\displaystyle{13}$ λεπτά, θα έλεγε κανείς ότι... αντιγράφαμε!

KATEΕ 1978 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

KATEΕ 1978 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Re: KATEΕ 1978 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Re: KATEΕ 1978 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Re: KATEΕ 1978 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Re: KATEΕ 1978 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Re: KATEΕ 1978 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Re: KATEΕ 1978 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Re: KATEΕ 1978 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Re: KATEΕ 1978 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Μέλη σε σύνδεση