ΕΜΠ 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΧΗΜ. ΜΕΤΑΛΛ. ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ.ΜΗΧ. ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

parmenides51 · #1

Εξεταστής: Παναγιωτουνάκος

1. Τι πραγματεύεται η απροσδιόριστη ανάλυση εξισώσεων πρώτου βαθμού;
Να δώσετε τον ορισμό ακέραιου πολυωνύμου ενός αγνώστου.
Να ορίσετε τον μέγιστο κοινό διαιρέτη δυο ακέραιων πολυωνύμων και να εξηγήσετε πως μπορούμε να τον βρούμε.
Υποτίθεται οτι τα πολυώνυμα είναι ενός αγνώστου.

2. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} (x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=-3 \\ (y-z)(z-x)=-1 \\ x-y+z=3 \end{cases}}$

3. α) Να δοθεί στην παράσταση $\displaystyle{\frac{\sqrt{-11-60i}}{\sqrt{-7-24i}} }$ η μορφή $\displaystyle{A+B i}$ όπου $\displaystyle{A,B}$ πραγματικοί αριθμοί και $\displaystyle{$ i=\sqrt{-1}} β) Εαν

\displaystyle{\alpha^3+\beta^3=6\alpha\beta(\alpha+\beta)} και

\displaystyle{\alpha+\beta \ne 0} , να δείξετε ότι

\displaystyle{\log \left[\frac{1}{3}(\alpha+\beta)\right]=\frac{1}{2}(\log \alpha+\log \beta)} γ) Εαν

\displaystyle{\log 2=0,30103} και

\displaystyle{\log 3 =0,4771213} , ποια είναι η τιμή της παράστασης

\displaystyle{K=\log \left(\sqrt[3]{\frac{9\cdot 625}{\sqrt[4]{8}}}\right)}$

Υ.Γ. Το 1ο θέμα (που είναι θεωρία) έπεσε και στις εξετάσεις Πολιτικών Μηχανικών και Μηχανολόγων Μηχανικών Αλλοδαπών (σχετικά)

edit
προσθήκη εξεταστή

hlkampel · #2

parmenides51 έγραψε: 2. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} (x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=-3 \\ (y-z)(z-x)=-1 \\ x-y+z=3 \end{cases}}$

$\left\{ \begin{array}{l} {\left( {x - y} \right)^3} + {\left( {y - z} \right)^3} + {\left( {z - x} \right)^3} = - 3\;\left( 1 \right) \\ \left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right) = - 1\;\left( 2 \right) \\ x - y + z = 3\;\left( 3 \right)\;\; \\ \end{array} \right.$

Είναι $\left( {x - y} \right) + \left( {y - z} \right) + \left( {z - x} \right) = 0$ έτσι από Euler

είναι:

$\displaystyle{{\left( {x - y} \right)^3} + {\left( {y - z} \right)^3} + {\left( {z - x} \right)^3} = 3\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)\;\left( 4 \right)}$

Η $\left( 1 \right)$ λόγω της $\left( 4 \right)$ γίνεται:

$\displaystyle{3\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)\; = - 3 \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)\; = - 1\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 2 \right)} }$

$x - y = 1 \Leftrightarrow y = x - 1\;\left( 6 \right)$

$\left( 3 \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 6 \right)} z = 2$

Με z = 2

η $\left( 2 \right)$ γίνεται: $\left( {y - 2} \right)\left( {2 - x} \right) = - 1 \Leftrightarrow 2y - xy + 2x - 3 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 6 \right)}$

$2\left( {x - 1} \right) - x\left( {x - 1} \right) + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 5 = 0$

Άρα $\displaystyle x = \frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}\;\dot \eta \;x = \frac{{5 - \sqrt 5 }}{2}$

Αν $\displaystyle x = \frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}\;$ τότε από $\left( 6 \right)$ είναι $\displaystyle y = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}$

Αν $\displaystyle x = \frac{{5 - \sqrt 5 }}{2}\;$ τότε από $\left( 6 \right)$ είναι $\displaystyle y = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}$

Άρα οι λύσεις του συστήματος είναι:

$\displaystyle\left( {x,y,z} \right) = \left( {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2},\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2},2} \right)$ και $\displaystyle\left( {x,y,z} \right) = \left( {\frac{{5 - \sqrt 5 }}{2},\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2},2} \right)$ που επαληθεύουν τις εξισώσεις του συστήματος.

ΕΜΠ 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΧΗΜ. ΜΕΤΑΛΛ. ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ.ΜΗΧ. ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

ΕΜΠ 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΧΗΜ. ΜΕΤΑΛΛ. ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ.ΜΗΧ. ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

Re: ΕΜΠ 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΧΗΜ. ΜΕΤΑΛΛ. ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ.ΜΗΧ. ΑΛΛΟΔ

Μέλη σε σύνδεση