ΕΜΠ 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΜΗΧ.

parmenides51 · #1

1. Αν οι παρανομαστές των κλασμάτων $\displaystyle{\frac{a_1}{b_1},\frac{a_2}{b_2},...,\frac{a_{\nu}}{b_{\nu}}}$ είναι όλοι αρνητικοί αριθμοί,
οι δε αριθμητές οποιοιδήποτε πραγματικοί αριθμοί, τότε μεταξύ ποιων αριθμών
περιλαμβάνεται η τιμή του κλάσματος $\displaystyle{A=\frac{a_1+a_2+...+a_{\nu}}{b_1+b_2+...+b_{\nu}} }$ ;

2. Να βρεθούν (αιτιολογημένα) οι τύποι οι οποίοι δίνουν τα αθροίσματα
$\displaystyle{\Sigma_{\alpha}=1+2+3+...+\nu, \Sigma_{\beta}=1^2+2^2+3^2+...+\nu^2,\Sigma_{\gamma}=1^3+2^3+3^3+...+\nu^3}$
ως ακέραια πολυώνυμα του $\displaystyle{\nu}$ . Να βρεθούν έπειτα τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των διαιρέσεων
$\displaystyle{ \Sigma_{\beta}:\Sigma_{\alpha}, \Sigma_{\gamma}:\Sigma_{\alpha},\Sigma_{\gamma}:\Sigma_{\beta}}$

3. Για ποια μήκη πλευρών ορθογωνίου οικοπέδου, του οποίου το διπλάσιο της μιας πλευράς
και το διπλάσιο της άλλης πλευράς έχουν άθροισμα 96 μέτρα, αποκτά το μέγιστο εμβαδόν;
Ποιο είναι το εμβαδόν αυτό;

4. Να βρεθούν όλοι οι διψήφιοι φυσικοί (δηλαδή ακέραιοι και θετικοί) αριθμοί
που είναι ακέραια πολλαπλάσια του γινομένου των ψηφίων τους.

5. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{8x^{\displaystyle \,\, \frac{3\mu}{2\nu}}- 8x^{\displaystyle - \frac{3\mu}{2\nu}}=63}$

edit
προσθήκη 5ο θέματος, κατόπιν διασταύρωσης των πηγών της συγκεκριμένης εξέτασης

#2

parmenides51 έγραψε:4. Να βρεθούν όλοι οι διψήφιοι φυσικοί (δηλαδή ακέραιοι και θετικοί) αριθμοί
που είναι ακέραια πολλαπλάσια του γινομένου των ψηφίων τους.

Έχουμε από την υπόθεση: $\displaystyle{10x+y=kxy}$ , όπου $\displaystyle{x}$ είναι το ψηφίο των δεκάδων και $\displaystyle{y}$ το ψηφίο των μονάδων

του διψήφιου αριθμού που ζητάμε, και $\displaystyle{k\in N^{*}}$ . Άρα $\displaystyle{(kx-1)y=10x}$ . (1)

Aν ήταν $\displaystyle{kx-1=0}$ , τότε η (1) γράφεται: $\displaystyle{0=10x\Rightarrow x=0}$ , που είναι άτοπο, αφού ο αριθμός $\displaystyle{\bar{xy}}$

είναι διψήφιος. Άρα $\displaystyle{kx-1\neq 0}$ , οπότε η (1) γράφεται: $\displaystyle{y=\frac{10x}{kx-1}\Rightarrow ky=\frac{10kx}{kx-1}}$

Άρα: $\displaystyle{ky=\frac{10kx-10+10}{kx-1}=\frac{10(kx-1)}{kx-1}+\frac{10}{kx-1}=10+\frac{10}{kx-1}}$

Αφού το δεύτερο μέλος είναι φυσικός, πρέπει $\displaystyle{kx-1 \in \{1,2,5,10\}}$

(a) Αν $\displaystyle{kx-1=1\Rightarrow kx=0\Rightarrow k=0}$ , ή $\displaystyle{x=0}$ , άτοπο

(β) Αν $\displaystyle{kx-1=2\Rightarrow kx=3}$ και λόγω της (1) $\displaystyle{y=5x}$ . Από $\displaystyle{kx=3\Rightarrow x=\frac{3}{k}}$ και άρα

$\displaystyle{k=1}$ , ή $\displaystyle{k=3}$ , οπότε $\displaystyle{x=3}$ ή $\displaystyle{x=1}$ . Aν $\displaystyle{x=3}$ θα είναι $\displaystyle{y=15}$ , άτοπο. Αν $\displaystyle{x=1}$ , τότε $\displaystyle{y=5}$

και άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι ο $\displaystyle{15}$

(γ) Αν $\displaystyle{kx-1=5\Rightarrow kx=6}$ και από την (1) έχουμε $\displaystyle{y=2x}$ . Από $\displaystyle{kx=6\Rightarrow x=\frac{6}{k}}$ και άρα

$\displaystyle{k=1}$ , ή $\displaystyle{k=2}$ , ή $\displaystyle{k=3}$ , ή $\displaystyle{k=6}$ , από όπου παίρνουμε $\displaystyle{(x,y)=(3,6)}$ , ή $\displaystyle{(x,y)=(2,4)}$ , ή $\displaystyle{(x,y)=(1,2)}$

και τότε παίρνουμε τους διψήφιους $\displaystyle{36 , 24 , 12}$

(δ) Αν $\displaystyle{kx-1=10\Rightarrow kx=11\Rightarrow x=\frac{11}{k}\Rightarrow k=11}$ και άρα $\displaystyle{x=1}$ και από την (1)

έπεται $\displaystyle{y=1}$ και ο διψήφιος είναι ο $\displaystyle{11}$

Συμπέρασμα: Όλοι οι διψήφιοι τους οποίους ζητάμε είναι οι : $\displaystyle{15 , 36 , 24 , 12 , 11}$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

parmenides51 έγραψε: 2. Να βρεθούν (αιτιολογημένα) οι τύποι οι οποίοι δίνουν τα αθροίσματα
$\displaystyle{\Sigma_{\alpha}=1+2+3+...+\nu, \Sigma_{\beta}=1^2+2^2+3^2+...+\nu^2,\Sigma_{\gamma}=1^3+2^3+3^3+...+\nu^3}$
ως ακέραια πολυώνυμα του $\displaystyle{\nu}$ . Να βρεθούν έπειτα τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των διαιρέσεων
$\displaystyle{ \Sigma_{\beta}:\Sigma_{\alpha}, \Sigma_{\gamma}:\Sigma_{\alpha},\Sigma_{\gamma}:\Sigma_{\beta}}$

Αυτό το θέμα θα το λύσω μόνο και μόνο για να δουν τα νέα παιδιά του forum κάποιες γνώσεις που σε έναν επιμελή μαθητή θετικής κατεύθυνσης της δεκαετίας του 1970 ήταν μάλλον δεδομένες.Τα όσα θα γράψω τα πρωτοδιάβασα ως μαθητής της Β' Λυκείου από το βιβλίο '' ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ-ΑΛΓΕΒΡΑ-ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ '' της Β' Λυκείου των Η. Ντζιώρα και Ι.Πανάκη έκδοση 1981. Βρίσκονται στις σελίδες 53 και 54.

Για το $\Sigma_{\alpha}$ τα πράγματα είναι απλά , πρόκειται για το άθροισμα των $\nu$ πρώτων όρων αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο το

και διαφορά επίσης το

.Αν εφαρμόσουμε τον πασίγνωστο τύπο που διδάσκεται για αιώνες , βρίσκουμε

$\displaystyle\Sigma_{\alpha}=\frac{\nu \left(1+\nu \right)}{2}$

Για το $\Sigma_{\beta}$ δε νομίζω να υπάρχει αναφορά στο τρέχον σχολικό βιβλίο. Αξίζει να το δούμε.
Θεωρούμε την ταυτότητα
$\left(x+1 \right)^{3}=x^{3}+3x^{2}+3x+1$
Aν εφαρμόσουμε αυτήν την ταυτότητα για $x=1,2,3,...,\nu-2,\nu-1,\nu$ έχουμε τις ακόλουθες ισότητες
$2^{3}=1^{3}+3\cdot 1^{2}+3\cdot 1+1$
$3^{3}=2^{3}+3\cdot 2^{2}+3\cdot 2+1$
$4^{3}=3^{3}+3\cdot 3^{2}+3\cdot 3+1$
.........................................
.........................................
.........................................
$(\nu-1)^{3}=(\nu-2)^{3}+3\cdot (\nu-2)^{2}+3\cdot(\nu-2) +1$
$\nu^{3}=(\nu-1)^{3}+3\cdot (\nu-1)^{2}+3\cdot(\nu-1) +1$
$\left(\nu+1 \right)^{3}=\nu^{3}+3\nu^{2}+3\nu+1$

Aυτές τις $\nu$ το πλήθος ισότητες τις προσθέτουμε. Μετά τις απλοποιήσεις , προκύπτει ότι

$\left(\nu +1 \right)^{3}=3\left(1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+\nu ^{2}\right)+3\left(1+2+3+...+\nu \right)+\left(\nu +1 \right)$

δηλαδή

$\left(\nu +1 \right)^{3}=3\Sigma_{\beta}+3\Sigma_{\alpha}+\left(\nu +1 \right)$

Aν αντικαταστήσω στην τελευταία αυτή ισότητα τον τύπο που βρέθηκε λίγο πιο πάνω για το $\Sigma_{\alpha}$ και λύσω ως προς $\Sigma_{\beta}$ καταλήγω ότι

$\displaystyle\Sigma_{\beta}=\frac{\nu(\nu+1) \left(2\nu+1 \right)}{6}$

Ας δούμε τώρα τον υπολογισμό του $\Sigma_{\gamma}=1^3+2^3+3^3+...+\nu^3}$

Eίναι γνωστή η ταυτότητα

$\left(x+1 \right)^{4}=x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x+1$

Aν εφαρμόσουμε αυτήν την ταυτότητα για $x=1,2,3,...,\nu-2,\nu-1,\nu$ έχουμε τις ακόλουθες ισότητες
$2^{4}=1^{4}+4\cdot 1^{3}+6\cdot 1^{2}+4\cdot 1+1$
$3^{4}=2^{4}+4\cdot 2^{3}+6\cdot 2^{2}+4\cdot 2+1$
$4^{4}=3^{4}+4\cdot 3^{3}+6\cdot 3^{2}+4\cdot 3+1$
....................................................
....................................................
....................................................
$(\nu-1)^{4}=(\nu-2)^{4}+4\cdot (\nu-2)^{3}+6\cdot (\nu-2)^{2}+4\cdot (\nu-2)+1$
$\nu^{4}=(\nu-1)^{4}+4\cdot (\nu-1)^{3}+6\cdot (\nu-1)^{2}+4\cdot (\nu-1)+1$
$\left(\nu+1 \right)^{4}=\nu^{4}+4\nu^{3}+6\nu^{2}+4\nu+1$

Aυτές τις $\nu$ το πλήθος ισότητες τις προσθέτουμε. Μετά τις απλοποιήσεις , προκύπτει ότι

$\left(\nu +1 \right)^{4}=1+4\Sigma_{\gamma}+6\Sigma_{\beta}+4\Sigma_{\alpha}+\nu$

Aν αντικαταστήσω στην τελευταία αυτή ισότητα τους τύπους που βρέθηκαν λίγο πιο πάνω για το $\Sigma_{\alpha}$ και το $\Sigma_{\beta}$ και κατόπιν λύσω ως προς $\Sigma_{\gamma}$ καταλήγω ότι

$\displaystyle\Sigma_{\gamma}=\left(\frac{\nu \left(\nu +1 \right)}{2} \right)^{2}$

Απέφυγα τις λεπτομερείς πράξεις , έμεινα στην ουσία. Αυτό που με εντυπωσίασε τότε , σαν 17χρονο νεαρό μαθητή , ήταν η σύνδεση του διωνύμου του Νεύτωνος με την εύρεση κλειστών τύπων για τον υπολογισμό αθροισμάτων της μορφής
$1^{k}+2^{k}+3^{k}+...+\nu ^{k}$

$\displaystyle\Sigma_{\beta}:\Sigma_{\alpha}=\frac{\nu \left(\nu +1 \right)\left(2\nu +1 \right)\cdot 2}{6\nu \left(\nu +1 \right)}=\frac{1}{3}\left(2\nu +1 \right)=\frac{2}{3}\nu +\frac{1}{3}$

Επρόκειτο για τέλεια διαίρεση.

$\displaystyle\Sigma_{\gamma}:\Sigma_{\alpha}=\frac{\nu \left(\nu +1 \right)}{2}=\frac{1}{2}\nu ^{2}+\frac{1}{2}\nu$

Επρόκειτο για τέλεια διαίρεση.

Για τη διαίρεση $\displaystyle \Sigma_{\gamma}:\Sigma_{\beta}$ προκύπτει πηλίκο το πολυώνυμο $\displaystyle\frac{3}{4}\nu +\frac{3}{8}$ και υπόλοιπο το πολυώνυμο $\displaystyle-\frac{3}{4}$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

parmenides51 έγραψε: 3. Για ποια μήκη πλευρών ορθογωνίου οικοπέδου, του οποίου το διπλάσιο της μιας πλευράς
και το διπλάσιο της άλλης πλευράς έχουν άθροισμα 96 μέτρα, αποκτά το μέγιστο εμβαδόν;
Ποιο είναι το εμβαδόν αυτό;

Μολονότι οι εισαγωγικές εξετάσεις του Ε.Μ.Π. εκείνης της εποχής είχαν - και δικαίως - τη φήμη των σκληρών εξετάσεων , εδώ έχουμε ένα μάλλον απλό θέμα.Το λύνω για να το δουν κάποια παιδιά της Γ΄ Γυμνασίου ή της Α΄ Λυκείου.

Έστω

το μήκος της μιας πλευράς του ορθογωνίου οικοπέδου και

το μήκος της άλλης.
Σύμφωνα με τα δεδομένα ισχύει ότι
$2x+2y=96\Leftrightarrow 2\left(x+y \right)=96\Leftrightarrow x+y=48\Leftrightarrow y=48-x$
Aν

το εμβαδόν του οικοπέδου , ισχύει ότι
$E=x\cdot y=x\left(48-x \right)=-x^{2}+48x= x^{2}+48x-24^{2}+24^{2}=$
$= -\left(x^{2}-48x+24^{2} \right)+24^{2}=-\left(x-24 \right)^{2}+24^{2}=-\left(x-24 \right)^{2}+576$
Kαταλήξαμε στο γεγονός ότι
$E=576-\left(x-24 \right)^{2}\leq 576$
Το 576

είναι η τιμή του μεγίστου εμβαδού.
Η τιμή 576

λαμβάνεται αν και μόνον αν
x=24

Η αντίστοιχη τιμή για το μήκος της άλλης πλευράς είναι
y=48-24=24

Έτσι το μέγιστο εμβαδόν είναι 576

και αυτό επιτυγχάνεται αν και μόνον αν x=y=24

, δηλαδή όταν και μόνον όταν το οικόπεδο είναι τετράγωνο με μήκος πλευράς

Δεν τολμώ να σκεφτώ υποψήφιο του 1959 να βρίσκει το μέγιστο με τη βοήθεια των παραγώγων...
Εσείς τι γνώμη έχετε;

orestisgotsis · #5

Περιττό

#6

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Δεν τολμώ να σκεφτώ υποψήφιο του 1959 να βρίσκει το μέγιστο με τη βοήθεια των παραγώγων...
Εσείς τι γνώμη έχετε;

Γεια σου Τηλέμαχε.

Δεν νομίζω ότι υπήρχαν παράγωγοι στην ύλη το 1959

.

ΕΜΠ 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΜΗΧ.

ΕΜΠ 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΜΗΧ.

Μέλη σε σύνδεση