ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1961 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ

parmenides51 · #1

Εξεταστές : Πυλαρινός - Φλωράς

1. Χωρίζω τους αριθμούς $\displaystyle{1,2,4,8,16,32,...}$ σε ομάδες ως εξής $\displaystyle{(1,2), (4,8,16), (32,64,128,256),...}$
ώστε η πρώτη ομάδα να έχει δυο όρους, η δεύτερη τρεις, η τρίτη τέσσερις και ούτω καθ' εξής.
Να βρεθεί το άθροισμα των όρων της $\displaystyle{\nu}$ - ιοστής ομάδας.

2. Να βρεθεί ο $\displaystyle{\lambda}$ ώστε μια ρίζα της εξίσωσης $\displaystyle{x^2-6x+4\lambda=0}$
να είναι διπλάσια μιας ρίζας της εξίσωσης $\displaystyle{x^2-4x+3+2\lambda=0}$ .

3. Να λυθεί η ανίσωση $\displaystyle{ \lambda x^2- \frac{1}{\lambda^2 x}>0}$ όπου $\displaystyle{ \lambda\ne 0}$

4. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} z^x=y^{2x} \\ 2^{z-1}=4^x \\ x+y+z=16 \end{cases}}$ ως προς τις πραγματικές λύσεις.

edit
προσθήκη εξεταστών

Tolaso J Kos · #2

parmenides51 έγραψε: 2. Να βρεθεί ο $\displaystyle{\lambda}$ ώστε μια ρίζα της εξίσωσης $\displaystyle{x^2-6x+4\lambda=0}$
να είναι διπλάσια μιας ρίζας της εξίσωσης $\displaystyle{x^2-4x+3+2\lambda=0}$ .

Έστω $\displaystyle{x'=\frac{6+\sqrt{\Delta _1}}{2}}$ μία ρίζα της πρώτης εξίσωσης και $\displaystyle{x''=\frac{4+\sqrt{\Delta _2}}{2}}$ της δεύτερης τότε ισχύει:
$\displaystyle{x'=2x''\Leftrightarrow 6+\sqrt{\Delta _1}=8+2\sqrt{\Delta _2}\Leftrightarrow \sqrt{\Delta _1}=2(1+\sqrt{\Delta _2})\Leftrightarrow \sqrt{36-16\lambda }=2\left ( 1+\sqrt{4-12\lambda } \right )}$
Κάνοντας πράξεις βρίσκουμε ότι $\displaystyle{\lambda =0}$ η οποία είναι δεκτή και από τους περιορισμούς πιο πάνω.

Έστω $\displaystyle{x'=\frac{6+\sqrt{\Delta _1}}{2}}$ και $\displaystyle{x''=\frac{4-\sqrt{\Delta _2}}{2}}$ μία ρίζα της πρώτης και μία της δεύτερης αντίστοιχα. Τότε $\displaystyle{x'=2x''\Leftrightarrow \frac{6+\sqrt{\Delta _1}}{2}=2\frac{4-\sqrt{\Delta _2}}{2}\Leftrightarrow \sqrt{\Delta _1}=(2-\sqrt{\Delta _2})}$
$\displaystyle{\sqrt{36-16\lambda }=2-\sqrt{4-12\lambda }}$ (αδύνατη)

Έστω $\displaystyle{x'=\frac{6-\sqrt{\Delta _1}}{2},\, \, x''=\frac{4+\sqrt{\Delta _2}}{2}}$ οι ρίζες της πρώτης και της 2ης εξίσωσης αντίστοιχα. Τότε: $\displaystyle{x'=2x''\Leftrightarrow 6-\sqrt{\Delta _1}=2(4+\sqrt{\Delta _2})\Leftrightarrow -\sqrt{\Delta _1}-2\sqrt{\Delta _2}=2}$ (αδύνατο)

Έστω $\displaystyle{\displaystyle{x'=\frac{6-\sqrt{\Delta _1}}{2},\, \, x''=\frac{4-\sqrt{\Delta _2}}{2}}$ οι ρίζες της πρώτης και της 2ης εξίσωσης αντίστοιχα. Τότε:
$\displaystyle{x'=2x''\Leftrightarrow \frac{6-\sqrt{\Delta _1}}{2}=2\frac{4-\sqrt{\Delta _2}}{2}\Leftrightarrow 6-\sqrt{\Delta _1}=8-2\sqrt{\Delta _2}=\sqrt{\Delta _1}=-2+2\sqrt{\Delta _2}}$ (αδύνατη)

Παραλείπω την επίλυση των εξισώσεων καθώς είναι εύκολες. Ευχαριστώ επίσης τον parmenides51 για την παρατήρηση που μου έκανε, καθώς η λύση που είχα δώσει ήταν ελλιπής. Θα επανέλθω το βράδυ γιατί τότε λύναν τις εξισώσεις στους μιγαδικούς για να ολοκληρώσω τη λύση.

Τόλης

hlkampel · #3

parmenides51 έγραψε: 4. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} z^x=y^{2x} \\ 2^{z-1}=4^x \\ x+y+z=16 \end{cases}}$ ως προς τις πραγματικές λύσεις.

$\left\{ \begin{array}{l} {z^x} = {y^{2x}}\\ {2^{z - 1}} = {4^x}\\ x + y + z = 16 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {z^x} = {\left( {{y^2}} \right)^x}\quad \left( 1 \right)\\ {2^{z - 1}} = {2^{2x}}\quad \;\left( 2 \right)\\ x + y + z = 16\;\left( 3 \right) \end{array} \right.$

Πρέπει y > 0

και

.

Αν

η

ισχύει για κάθε y > 0

και

.

Με

η $\left( 2 \right) \Leftrightarrow {2^{z - 1}} = 1 \Leftrightarrow z = 1$

$\left( 3 \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{x = 0,\;z = 1} y = 15$

Έτσι μια λύση του συστήματος είναι: $\left( {x,y,z} \right) = \left( {0,15,1} \right)$

Αν $x \ne 0$ τότε:

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow z = {y^2} \Leftrightarrow y = \sqrt z \;\left( 4 \right)$

$\displaystyle\left( 2 \right) \Leftrightarrow z - 1 = 2x \Leftrightarrow x = \frac{{z - 1}}{2}\;\left( 5 \right)$

Με $y = \sqrt z$ και $\displaystyle x = \frac{{z - 1}}{2}$ η $\left( 3 \right)$

$\displaystyle\left( 3 \right) \Leftrightarrow \frac{{z - 1}}{2} + \sqrt z + z = 16 \Leftrightarrow 3z + 2\sqrt z - 33 = 0 \Leftrightarrow \sqrt z = 3\;\dot \eta \;\sqrt z = - \frac{{11}}{3}$ άτοπο

$\sqrt z = 3 \Leftrightarrow z = 9$ , y = 3

και

Άρα η άλλη λύση είναι η $\left( {x,y,z} \right) = \left( {4,3,9} \right)$

Και οι δύο ικανοποιούν τις εξισώσεις του συστήματος.

apotin · #4

parmenides51 έγραψε:Εξεταστές : Πυλαρινός - Φλωράς
1. Χωρίζω τους αριθμούς $\displaystyle{1,2,4,8,16,32,...}$ σε ομάδες ως εξής $\displaystyle{(1,2), (4,8,16), (32,64,128,256),...}$
ώστε η πρώτη ομάδα να έχει δυο όρους, η δεύτερη τρεις, η τρίτη τέσσερις και ούτω καθ' εξής.
Να βρεθεί το άθροισμα των όρων της $\displaystyle{\nu}$ - ιοστής ομάδας.

Παρατηρώ ότι:

Η 1η ομάδα έχει πλήθος όρων $\displaystyle{2}$ και $\displaystyle{1^o}$ όρο τον $\displaystyle{a_1}$ με δείκτη $\displaystyle{1}$
Η 2η ομάδα έχει πλήθος όρων $\displaystyle{3}$ και $\displaystyle{1^o}$ όρο τον $\displaystyle{a_3}$ με δείκτη $\displaystyle{1+2}$
Η 3η ομάδα έχει πλήθος όρων $\displaystyle{4}$ και $\displaystyle{1^o}$ όρο τον $\displaystyle{a_6}$ με δείκτη $\displaystyle{1+2+3}$
H 4η ομάδα έχει πλήθος όρων $\displaystyle{5}$ και $\displaystyle{1^o}$ όρο τον $\displaystyle{a_{10}}$ με δείκτη $\displaystyle{1+2+3+4}$
.....................................................................................
Άρα
Η ν-οστή ομάδα έχει πλήθος όρων $\displaystyle{{\nu + 1}}$ και $\displaystyle{1^o}$ όρο τον $\displaystyle{a_k}$ με δείκτη $\displaystyle{k=1+2+3+4+...+{\nu }={\frac{{\nu \left( {\nu - 1} \right)}}{2}}}$

Είναι $\displaystyle{{\alpha _\kappa } = {\alpha _1}{2^{\kappa - 1}} = {2^{\frac{{\nu \left( {\nu - 1} \right)}}{2} - 1}} = {2^{\frac{{{\nu ^2} - \nu - 2}}{2}}}}$

Οπότε το ζητούμενο άθροισμα είναι

$\displaystyle{{S_{\nu + 1}} = {\alpha _\kappa }\frac{{{2^{\nu+1} } - 1}}{{2 - 1}} = {2^{\frac{{{\nu ^2} - \nu - 2}}{2}}}\left( {{2^{\nu+1} } - 1} \right)}$

ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1961 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ

ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1961 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ

Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1961 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ

Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1961 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ

Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1961 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ

Μέλη σε σύνδεση