ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1961 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧΙΤ. + ΑΡΧΙΤ. ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

parmenides51 · #1

Όλα τα θέματα ήταν ίδια και για τους Αρχιτέκτονες και για τους Αρχιτέκτονες Αλλοδαπούς.

Εξεταστές : Φλωράς - Πυλαρινός

1. Να βρεθούν τρεις αριθμοί $\displaystyle{x,y,z }$ διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ,
όταν οι αριθμοί $\displaystyle{x,z,y,y^2}$ αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου.

2. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης $\displaystyle{A= x^2+y^2+z^2}$ όταν
οι πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{ x,y,z}$ συνδέονται με τις σχέσεις $\displaystyle{y-2x=5 \,\,, \,\,3x-z=2}$

3. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} x^2-2y^2=4y \\ 3x^2+xy-2y^2=16y \end{cases}}$

4. Να λυθεί η ανίσωση $\displaystyle{ \frac{4x^2-14x-6}{x^2-4x+3}-3>0}$

edit's
προσθήκη 4ου θέματος, κατόπιν διασταύρωσης των πηγών της συγκεκριμένης εξέτασης
μετονομασία και προσθήκη του σχολίου οτι εξετάστηκαν στα ίδια θέματα οι αντίστοιχοι Αλλοδαποί

BAGGP93 · #2

2. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης $\displaystyle{A= x^2+y^2+z^2}$ όταν
οι πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{ x,y,z}$ συνδέονται με τις σχέσεις $\displaystyle{y-2x=5 \,\,, \,\,3x-z=2}$

Λύση

Είναι, $\displaystyle{y=2\,x+5\,\,\kappa \alpha \iota\,\,z=3\,x-2}$ , οπότε

$\displaystyle{\begin{aligned} A\left(x,y,z\right)&=x^2+4\,x^2+20\,x+25+9\,x^2-12\,x+4\\&=14\,x^2+8\,x+29\\&=14\,\left(x^2+\frac{4}{7}\,x+\frac{29}{4}\right)\\&=14\,\left[\left(x+\frac{2}{7}\right)^2+\frac{29}{4}-\frac{4}{49}\right)\\&=14\,\left(x+\frac{2}{7}\right)^2+14\left(\frac{29}{4}-\frac{4}{49}\right)\\&\geq 14\left(\frac{29}{4}-\frac{4}{49}\right) \end{aligned}$

3. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} x^2-2y^2=4y \\ 3x^2+xy-2y^2=16y \end{cases}}$

Λύση

Έστω $\displaystyle{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2}$ λύση του συστήματος.

Τότε, $\displaystyle{3\,x^2=12\,y+6\,y^2\,\,\kappa \alpha \iota\,\, 3\,x^2=16\,y-x\,y+2\,y^2}$ , οπότε

$\displaystyle{12\,y+6\,y^2=16\,y-x\,y+2\,y^2\Leftrightarrow 4\,y^2+x\,y-4\,y=0\Leftrightarrow y\left(x+4\,y-4\right)=0\Leftrightarrow y=0\,\lor x=4-4\,y}$

Αν $\displaystyle{y=0}$ , τότε $\displaystyle{x^2=0\Leftrightarrow x=0}$ .

Αν $\displaystyle{x=4-4\,y}$ , τότε $\displaystyle{x^2=16-32\,y+16\,y^2}$ , οπότε

$\displaystyle{16-32\,y+16\,y^2-2\,y^2-4\,y=0\Leftrightarrow 7\,y^2-18\,y+8=0\Leftrightarrow \left(y-\frac{9}{7}\right)^2=\frac{25}{49}\Leftrightarrow y\in\left\{\frac{4}{7},2\right\}}$

Για $\displaystyle{y=\frac{4}{7}}$ βρίσκουμε $\displaystyle{x=4-4\,y=\frac{12}{7}$

Για $\displaystyle{y=2}$ βρίσκουμε $\displaystyle{x=4-4\,y=-4}$

Έυκολα βλέπουμε ότι τα ζεύγη $\displaystyle{\left(x,y\right)\in\left\{\left(-4,2\right),\left(0,0\right),\left(\frac{12}{7},\frac{4}{7}\right)\right\}}$

επαληθεύουν το σύστημα και άρα είναι οι μοναδικές λύσεις αυτού.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

parmenides51 έγραψε:Όλα τα θέματα ήταν ίδια και για τους Αρχιτέκτονες και για τους Αρχιτέκτονες Αλλοδαπούς.
Εξεταστές : Φλωράς - Πυλαρινός
4. Να λυθεί η ανίσωση $\displaystyle{ \frac{4x^2-14x-6}{x^2-4x+3}-3>0}$

edit's
προσθήκη 4ου θέματος, κατόπιν διασταύρωσης των πηγών της συγκεκριμένης εξέτασης
μετονομασία και προσθήκη του σχολίου οτι εξετάστηκαν στα ίδια θέματα οι αντίστοιχοι Αλλοδαποί

Πρόκειται για κλασσικό λυκειακό θέμα , άσχετα αν τα τελευταία χρόνια με τα '' κοψίματα '' που έχουν γίνει στην ύλη έχει καταντήσει δύσκολο...
Με την ελπίδα να ωφεληθεί κάποιο παιδί που ψάχνει φιλότιμα , θα γράψω μια λύση.
Εξυπακούεται ότι τα παρακάτω ισχύουν με τον όρο
$x\neq 1$ και $x\neq 3$

Η δοσμένη ανίσωση είναι ισοδύναμη με την

$\displaystyle{ \frac{4x^2-14x-6}{x^2-4x+3}-3\frac{x^{2}-4x+3}{x^{2}-4x+3}>0}\Leftrightarrow$

$\displaystyle{ \frac{4x^2-14x-6-3x^2+12x-9}{x^2-4x+3}>0}\Leftrightarrow$

$\displaystyle{ \frac{x^2-2x-15}{x^2-4x+3}>0}\Leftrightarrow$

$\displaystyle\frac{\left(x-5 \right)\left(x+3 \right)}{\left(x-1 \right)\left(x-3 \right)}>0$

Aν πολλαπλασιάσω και τα δύο μέλη με τη θετική ποσότητα $\left(x-1 \right)^{2}\left(x-3 \right)^{2}$ έχω ισοδύναμα

$\left(x-1 \right)\left(x-3 \right)\left(x-5 \right)\left(x+3 \right)>0$

Aν γίνει ο πίνακας προσήμων , προκύπτει ότι
$x\in \left(-\propto ,-3 \right)\bigcup{\left(1,3 \right)}\bigcup{\left(5,+\propto \right)}$

#4

parmenides51 έγραψε:Όλα τα θέματα ήταν ίδια και για τους Αρχιτέκτονες και για τους Αρχιτέκτονες Αλλοδαπούς.

Εξεταστές : Φλωράς - Πυλαρινός

1. Να βρεθούν τρεις αριθμοί $\displaystyle{x,y,z }$ διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ,
όταν οι αριθμοί $\displaystyle{x,z,y,y^2}$ αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου.

Για να μη μείνει άλυτη η πρώτη.
Από τη γεωμετρική πρόοδο έχουμε τη σχέση: $\boxed{{y^2} = xz,xyz \ne 0}$ (1)

και από την αριθμητική τις

σχέσεις: $\boxed{2z = x + y}$ (2)

και $\boxed{2y = z + {y^2}}$ (3)

$\displaystyle{4y = 2z + 2{y^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(2)} 4y = x + y + 2{y^2} \Leftrightarrow x = y(3 - 2y)}$ και με αντικατάσταση στη (2)

, παίρνουμε: $\displaystyle{2z = 2y(2 - y) \Leftrightarrow z = y(2 - y)}$ .

Η (1)

λοιπόν, γράφεται: $\displaystyle{{y^2} = {y^2}(2y - 3)(y - 2) \Leftrightarrow 2{y^2} - 7y + 5 = 0 \Leftrightarrow }$ $\boxed{y = 1 \vee y = \frac{5}{2}}$

Επομένως προκύπτουν οι λύσεις: $\boxed{(x,y,z) = (1,1,1)}$ ή $\boxed{(x,y,z) = \left( { - 5,\frac{5}{2}, - \frac{5}{4}} \right)}$

ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1961 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧΙΤ. + ΑΡΧΙΤ. ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1961 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧΙΤ. + ΑΡΧΙΤ. ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1961 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1961 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧΙΤ. + ΑΡΧΙΤ. ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

Re: ΠΟΛΥΤ. ΘΕΣΣ. 1961 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧΙΤ. + ΑΡΧΙΤ. ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

Μέλη σε σύνδεση