ΕΜΠ 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXAN. ΜΗΧ.

Πρώτη μη αναγνωσμένη δημοσίευση • 1 δημοσίευση • Σελίδα 1 από 1

parmenides51: Δημοσιεύσεις: 6238; Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm; Τοποθεσία: Πεύκη; Επικοινωνία:
Επικοινωνία parmenides51

Ιστοσελίδα

ΕΜΠ 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ MHXAN. ΜΗΧ.

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τρί Δεκ 10, 2013 8:44 am

Εξεταστής: Κρητικός

1. Να βρείτε τον μέγιστο κοινό διαιρέτη $\displaystyle{\delta(x)}$ των πολυωνύμων $\displaystyle{A(x)=x^2+x+2, B(x)=x^3+x^3-4x+6}$ και να τον εκφράσετε στην μορφή $\displaystyle{\delta(x)=B_1(x)A(x)+A_1B(x)}$ (1) όπου $\displaystyle{B_1(x)}$ και $\displaystyle{A_1(x)}$ δυο πολυώνυμα με βαθμούς αντιστοίχως μικρότερους των βαθμών των $\displaystyle{B(x)}$ και $\displaystyle{A(x)}$ . Να χρησιμοποιήσετε την ταυτότητα (1) για να αναλύσετε την κλασματική παράσταση $\displaystyle{\frac{x}{(x^2+x-2)(x^3-x^2-4x+6)} }$ σε άθροισμα $\displaystyle{\frac{P_1(x)}{x^2+x-2}+\frac{P_2(x)}{x^3-x^2-4x+6}}$ όπου $\displaystyle{P_1(x),P_2(x)}$ προσδιοριστέα κατάλληλα πολυώνυμα.

2. Εαν οι πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{A,B,\Gamma}$ ικανοποιούν την ανισότητα $\displaystyle{B^2-4A\Gamma<0}$ τότε $\displaystyle{(\Gamma x-Az)^2+(Ay-Bx)(\Gamma y -Bz)\ge 0 }$ (1), όποιοι και να είναι οι αριθμοί $\displaystyle{x,y,z}$ . Να δείξετε ακόμα οτι το ίσον στην σχέση (1) ισχύει όταν $\displaystyle{x=pA,y=pB,z=r\Gamma}$ .

3. Εαν $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ πραγματικοί αριθμοί τότε η σχέση $\displaystyle{(\alpha^2-\beta^2+\gamma^2)\le 4\alpha^2\gamma^2}$ έχει ως συνέπεια τις σχέσεις $\displaystyle{\left||\alpha|-|\beta|\right|\le |\gamma|}$ και $\displaystyle{|\gamma|\le |\alpha|+|\beta|}$ . Αντιστρόφως οι δυο τελευταίες σχέσεις, όταν συναληθεύουν, έχουν ως συνέπεια την πρώτη.

4. Ονομάζουμε $\displaystyle{ S_{\nu}}$ το άθροισμα των $\displaystyle{\nu}$ πρώτων όρων γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο $\displaystyle{ a=-5}$ και λόγο $\displaystyle{\lambda=-\frac{3}{4}}$ . Να δείξετε οτι για κάθε $\displaystyle{ \nu>3\left(\frac{20}{7\varepsilon}-1 \right)}$ ισχύει η ανισότητα $\displaystyle{ \left|-\frac{20}{7}-S_{\nu}\right|<\varepsilon}$ , όπου $\displaystyle{ \varepsilon }$ οποιοσδήποτε θετικός αριθμός.

edit
προσθήκη 4ου θέματος, κατόπιν διασταύρωσης των πηγών της συγκεκριμένης εξέτασης

Απάντηση

1 δημοσίευση • Σελίδα 1 από 1

Επιστροφή σε “Εξετάσεις Σχολών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες