ΙΚΑΡΩΝ 1978 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Να δειχθεί οτι ισχύει η σχέση $\displaystyle{\tau o \xi \varepsilon\phi \frac{1}{2}+\tau o \xi \varepsilon\phi \frac{1}{3}=\frac{\pi}{4}}$

2. Να δειχθεί οτι για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ ισχύει η σχέση $\displaystyle{\sigma\upsilon\nu (\sigma\upsilon\nu x)>0}$

3. Να επιλυθεί τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ αν δίνονται $\displaystyle{\widehat{A},\alpha}$ και $\displaystyle{\beta\gamma=\lambda^2}$ , όπου $\displaystyle{\lambda}$ δοθέν μέγεθος.

4. Εαν είναι $\displaystyle{\frac{\sigma\upsilon\nu x}{\alpha}=\frac{\sigma\upsilon\nu ( x+\theta)}{\beta}=\frac{\sigma\upsilon\nu ( x+2\theta)}{\gamma}=\frac{\sigma\upsilon\nu ( x+3\theta)}{\delta}}$ ,

να δειχθεί η ισότητα $\displaystyle{ \frac{\alpha+\gamma}{\beta}=\frac{\beta+\delta}{\gamma}}$ .

apotin · #2

parmenides51 έγραψε: 2. Να δειχθεί οτι για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ ισχύει η σχέση $\displaystyle{\sigma\upsilon\nu (\sigma\upsilon\nu x)>0}$

Για κάθε $\displaystyle{\chi \in \mathbb{R}}$ ισχύει

$\displaystyle{ - \frac{\pi }{2} < - 1 \le \sigma \upsilon \nu \chi \le 1 < \frac{\pi }{2}}$

Οπότε

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \left( {\sigma \upsilon \nu \chi } \right) > 0}$

Ευχαριστώ τον "socrates" για την επισήμανση του λάθους

#3

parmenides51 έγραψε:1. Να δειχθεί οτι ισχύει η σχέση $\displaystyle{\tau o \xi \varepsilon\phi \frac{1}{2}+\tau o \xi \varepsilon\phi \frac{1}{3}=\frac{\pi}{4}}$

Έστω:
$\displaystyle{\tau o\xi \varepsilon \varphi \frac{1}{2} + \tau o\xi \varepsilon \varphi \frac{1}{3} = \alpha, \alpha \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \Rightarrow \varepsilon \varphi \left( {\tau o\xi \varepsilon \varphi \frac{1}{2} + \tau o\xi \varepsilon \varphi \frac{1}{3}} \right) = \varepsilon \varphi \alpha \Rightarrow \frac{{\varepsilon \varphi \left( {\tau o\xi \varepsilon \varphi \frac{1}{2}} \right) + \varepsilon \varphi \left( {\tau o\xi \varepsilon \varphi \frac{1}{3}} \right)}}{{1 - \varepsilon \varphi \left( {\tau o\xi \varepsilon \varphi \frac{1}{2}} \right)\varepsilon \varphi \left( {\tau o\xi \varepsilon \varphi \frac{1}{3}} \right)}} = \varepsilon \varphi \alpha }$

$\displaystyle{\varepsilon \varphi \alpha = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}}{{1 - \frac{1}{2}\frac{1}{3}}} = 1 \Rightarrow \alpha = \frac{\pi }{4}}$

apotin · #4

parmenides51 έγραψε:1. Να δειχθεί οτι ισχύει η σχέση $\displaystyle{\tau o \xi \varepsilon\phi \frac{1}{2}+\tau o \xi \varepsilon\phi \frac{1}{3}=\frac{\pi}{4}}$

Από τον τύπο $\displaystyle{\tau o\xi \;\varepsilon \varphi \alpha + \tau o\xi \;\varepsilon \varphi \beta = \tau o\xi \;\varepsilon \varphi \frac{{\alpha + \beta }}{{1 - \alpha \beta }}}$

έχουμε

$\displaystyle{\tau o\xi \;\varepsilon \varphi \frac{1}{2} + \tau o\xi \;\varepsilon \varphi \frac{1}{3} = \tau o\xi \;\varepsilon \varphi \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}}{{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}} = \tau o\xi \;\varepsilon \varphi 1 = \frac{\pi }{4}}$

Με πρόλαβε ο Χρήστος, την αφήνω μιας και είναι διαφορετική (ισοδύναμη) λύση

apotin · #5

parmenides51 έγραψε:
4. Εαν είναι $\displaystyle{\frac{\sigma\upsilon\nu x}{\alpha}=\frac{\sigma\upsilon\nu ( x+\theta)}{\beta}=\frac{\sigma\upsilon\nu ( x+2\theta)}{\gamma}=\frac{\sigma\upsilon\nu ( x+3\theta)}{\delta}}$ ,

να δειχθεί η ισότητα $\displaystyle{ \frac{\alpha+\gamma}{\beta}=\frac{\beta+\delta}{\gamma}}$ .

Έστω

$\displaystyle{\frac{{\sigma \upsilon \nu x}}{\alpha } = \frac{{\sigma \upsilon \nu (x + \theta )}}{\beta } = \frac{{\sigma \upsilon \nu (x + 2\theta )}}{\gamma } = \frac{{\sigma \upsilon \nu (x + 3\theta )}}{\delta } = \lambda }$

τότε

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu x = \lambda \alpha ,\;\sigma \upsilon \nu (x + \theta ) = \lambda \beta ,\;\sigma \upsilon \nu (x + 2\theta ),\;\sigma \upsilon \nu (x + 3\theta ) = \lambda \delta }$

οπότε

$\displaystyle{\frac{{\alpha + \gamma }}{\beta } = \frac{{\beta + \delta }}{\gamma } \Leftrightarrow \frac{{\sigma \upsilon \nu x + \sigma \upsilon \nu (x + 2\theta )}}{{\sigma \upsilon \nu (x + \theta )}} = \frac{{\sigma \upsilon \nu (x + \theta ) + \sigma \upsilon \nu (x + 3\theta )}}{{\sigma \upsilon \nu (x + 2\theta )}} \Leftrightarrow \frac{{2\sigma \upsilon \nu (x + \theta )\sigma \upsilon \nu 2\theta }}{{\sigma \upsilon \nu (x + \theta )}} = \frac{{2\sigma \upsilon \nu (x + 2\theta )\sigma \upsilon \nu 2\theta }}{{\sigma \upsilon \nu (x + 2\theta )}} \Leftrightarrow 1 = 1}$ , που ισχύει

apotin · #6

parmenides51 έγραψε:
3. Να επιλυθεί τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ αν δίνονται $\displaystyle{\widehat{A},\alpha}$ και $\displaystyle{\beta\gamma=\lambda^2}$ , όπου $\displaystyle{\lambda}$ δοθέν μέγεθος.

Από τη σχέση $\displaystyle{\;\;\frac{\alpha }{{\eta \mu {\rm A}}} = 2R\;\;}$ υπολογίζουμε την ακτίνα $\displaystyle{R}$ .

Τότε $\displaystyle{\;\;\beta \gamma = {\lambda ^2} \Leftrightarrow 4{R^2}\eta \mu {\rm B}\eta \mu \Gamma = {\lambda ^2} \Leftrightarrow 2\eta \mu {\rm B}\eta \mu \Gamma = \frac{{{\lambda ^2}}}{{2{R^2}}} \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \left( {\Gamma - {\rm B}} \right) - \sigma \upsilon \nu \left( {\Gamma + {\rm B}} \right) = \frac{{{\lambda ^2}}}{{2{R^2}}} \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \left( {\Gamma - {\rm B}} \right) = \frac{{{\lambda ^2}}}{{2{R^2}}} - \sigma \upsilon \nu {\rm A}}$

οπότε υπολογίζουμε τη διαφορά $\displaystyle{\;\;\Gamma - {\rm B}\;\;}$ και επειδή $\displaystyle{\;\;{\rm B} + \Gamma = 180^\circ - {\rm A}\;\;}$ υπολογίζουμε τις γωνίες $\displaystyle{\;\;{\rm B},\;\Gamma \;\;}$

Στη συνέχεια από το ν. ημιτόνων βρίσκουμε τις πλευρές $\displaystyle{\;\;\beta ,\;\gamma \;\;}$

Διερεύνηση

Για να έχει λύση το πρόβλημα πρέπει

$\displaystyle{ - 1 \le \sigma \upsilon \nu \left( {\Gamma - {\rm B}} \right) \le 1 \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu {\rm A} - 1 \le \frac{{{\lambda ^2}}}{{2{R^2}}} \le 1 + \sigma \upsilon \nu {\rm A}}$

και επειδή το αριστερό σκέλος ισχύει αρκεί

$\displaystyle{\frac{{{\lambda ^2}}}{{2{R^2}}} \le 1 + \sigma \upsilon \nu {\rm A} \Leftrightarrow {\lambda ^2} \le 2{R^2}\left( {1 + \sigma \upsilon \nu {\rm A}} \right) \Leftrightarrow {\lambda ^2} \le {\alpha ^2}\frac{{1 + \sigma \upsilon \nu {\rm A}}}{{2\eta {\mu ^2}{\rm A}}} \Leftrightarrow {\lambda ^2} \le {\alpha ^2}\frac{{2\sigma \upsilon {\nu ^2}\frac{{\rm A}}{2}}}{{8\eta {\mu ^2}\frac{{\rm A}}{2}\sigma \upsilon {\nu ^2}\frac{{\rm A}}{2}}} \Leftrightarrow {\lambda ^2} \le \frac{{{\alpha ^2}}}{{4\eta {\mu ^2}\frac{{\rm A}}{2}}} \Leftrightarrow \left| \lambda \right| \le \frac{\alpha }{{2\eta \mu \frac{{\rm A}}{2}}}}$

ΙΚΑΡΩΝ 1978 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΙΚΑΡΩΝ 1978 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1978 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1978 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1978 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1978 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1978 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση