ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1978 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Εαν είναι $\displaystyle{0<\alpha,\beta<\frac{\pi}{2}, \varepsilon\phi \alpha=\frac{\sqrt2 +1}{\sqrt2 -1},\varepsilon\phi \beta=\frac{\sqrt2}{2}}$ τότε θα είναι $\displaystyle{\alpha=\beta+\frac{\pi}{4}}$

2. Αν σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι $\displaystyle{\eta\mu^2 A=\eta\mu^2B+\eta\mu^2\Gamma}$ , τότε αυτό είναι ορθογώνιο.

3. Αν σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma }$ ισχύει η σχέση $\displaystyle{(1-\sigma\phi \Gamma)[1+\sigma\phi(45^o-B)]=2}$ ,
τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Γιώργος Απόκης · #2

parmenides51 έγραψε: 1. Εαν είναι $\displaystyle{0<\alpha,\beta<\frac{\pi}{2}, \varepsilon\phi \alpha=\frac{\sqrt2 +1}{\sqrt2 -1},\varepsilon\phi \beta=\frac{\sqrt2}{2}}$ τότε θα είναι $\displaystyle{\alpha=\beta+\frac{\pi}{4}}$

Έχουμε $\displaystyle{\epsilon \phi a=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}=\frac{(\sqrt{2}+1)^2}{\sqrt{2}^2-1^2}=2+2\sqrt{2}+1=3+2\sqrt{2}}$

και $\displaystyle{\epsilon \phi(a-\beta)=\frac{\epsilon \phi a-\epsilon\phi \beta}{1+\epsilon \phi a\epsilon \phi \beta}=\frac{3+2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}}{1+(3+2\sqrt{2})\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{3+\frac{3\sqrt{2}}{2}}{1+\frac{3\sqrt{2}}{2}+2}=1=\epsilon \phi \frac{\pi}{4}}$

και αφού $\displaystyle{0<a,\beta<\frac{\pi}{2}}$ έχουμε $\displaystyle{a-\beta=\frac{\pi}{4}\Rightarrow a=\beta+\frac{\pi}{4}}$

hlkampel · #3

parmenides51 έγραψε:2. Αν σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι $\displaystyle{\eta\mu^2 A=\eta\mu^2B+\eta\mu^2\Gamma}$ , τότε αυτό είναι ορθογώνιο.

Αν

η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, από ν. ημιτόνων έχουμε:

$\displaystyle\frac{\alpha }{{\eta \mu {\rm A}}} = 2R \Leftrightarrow \eta \mu {\rm A} = \frac{\alpha }{{2R}}$

Ομοίως $\displaystyle\eta \mu B = \frac{\beta }{{2R}}$ και $\displaystyle\eta \mu \Gamma = \frac{\gamma }{{2R}}$

$\displaystyle\eta {\mu ^2}{\rm A} = \eta {\mu ^2}{\rm B} + \eta {\mu ^2}\Gamma \Leftrightarrow \frac{{{\alpha ^2}}}{{4{R^2}}} = \frac{{{\beta ^2}}}{{4{R^2}}} + \frac{{{\gamma ^2}}}{{4{R^2}}} \Leftrightarrow {\alpha ^2} = {\beta ^2} + {\gamma ^2}$

Άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με $\widehat {\rm A} = 90^\circ$

orestisgotsis · #4

ΠΕΡΙΤΤΑ

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1978 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1978 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1978 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1978 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1978 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση