Σ.Μ.Α. 1978 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Αν είναι $\displaystyle{\Pi=(\log \varepsilon\phi 1^o)(\log \varepsilon\phi 2^o)\cdot ...\cdot (\log \varepsilon\phi 89^o)}$
και $\displaystyle{\Sigma=(\log \varepsilon\phi 1^o)+(\log \varepsilon\phi 2^o)+ ...+ (\log \varepsilon\phi 89^o)}$ ,
τότε θα έχουμε $\displaystyle{\Pi=\Sigma}$ .

2. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\eta\mu \left(\frac{\pi}{2}\sigma\upsilon\nu x\right)=\sigma\upsilon\nu (\pi\eta\mu x)}$

3. Να λυθεί η ανίσωση $\displaystyle{ \frac{2\eta\mu^2 x+\eta\mu x -1}{2\eta\mu^2 x -1}<0}$

4. Αν $\displaystyle{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{\Gamma}=\pi}$ και $\displaystyle{\widehat{A},\widehat{B},\widehat{\Gamma}>0}$ , να δείξετε οτι $\displaystyle{K=\eta\mu\frac{A}{2}\eta\mu\frac{B}{2}\eta\mu\frac{\Gamma}{2}\le \frac{1}{8}}$

5. Εαν είναι $\displaystyle{\phi=\tau o \xi \varepsilon\phi \frac{x\sqrt3}{2k-x}}$ και $\displaystyle{ \theta=\tau o \xi \varepsilon\phi \frac{2x-k}{k\sqrt3} }$ τότε να δειχθεί οτι $\displaystyle{\phi-\theta=\frac{\pi}{\color{red}6}}}$

edit
διόρθωση στο 5ο, του ζητούμενου μετά την λύση του Ορέστη, είχαν τυπογραφικό και στην πηγή (!) και λάθος πράξεις στην λύση της

#2

parmenides51 έγραψε:4. Αν $\displaystyle{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{\Gamma}=\pi}$ και $\displaystyle{\widehat{A},\widehat{B},\widehat{\Gamma}>0}$ , να δείξετε οτι $\displaystyle{K=\eta\mu\frac{A}{2}\eta\mu\frac{B}{2}\eta\mu\frac{\Gamma}{2}\le \frac{1}{8}}$

Αυτό το θέμα έχει παίξει πολλές φορές νομίζω. Ακόμα μία λοιπόν.

Η συνάρτηση με τύπο $\displaystyle{f(x) = \eta \mu x,x \in (0,\frac{\pi }{2}]}$ είναι κοίλη $\displaystyle{(f''(x) = - \eta \mu x < 0,x \in (0,\frac{\pi }{2}])}$ .

Τότε με εφαρμογή αρχικά της A.M-G.M και μετά Jensen θα έχω:

$\displaystyle{\eta \mu \frac{{\rm A}}{2}\eta \mu \frac{{\rm B}}{2}\eta \mu \frac{\Gamma }{2} \le {\left( {\frac{{\eta \mu \frac{{\rm A}}{2} + \eta \mu \frac{{\rm B}}{2} + \eta \mu \frac{\Gamma }{2}}}{3}} \right)^3} \le {\left( {\eta \mu \left( {\frac{{\frac{{{\rm A} + {\rm B} + \Gamma }}{2}}}{3}} \right)} \right)^3} = {\left( {\eta \mu \left( {\frac{\pi }{6}} \right)} \right)^3} = \frac{1}{8}}$

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

sokratis lyras · #4

chris_gatos έγραψε:
parmenides51 έγραψε:4. Αν $\displaystyle{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{\Gamma}=\pi}$ και $\displaystyle{\widehat{A},\widehat{B},\widehat{\Gamma}>0}$ , να δείξετε οτι $\displaystyle{K=\eta\mu\frac{A}{2}\eta\mu\frac{B}{2}\eta\mu\frac{\Gamma}{2}\le \frac{1}{8}}$
Αυτό το θέμα έχει παίξει πολλές φορές νομίζω. Ακόμα μία λοιπόν.

Η συνάρτηση με τύπο $\displaystyle{f(x) = \eta \mu x,x \in (0,\frac{\pi }{2}]}$ είναι κοίλη $\displaystyle{(f''(x) = - \eta \mu x < 0,x \in (0,\frac{\pi }{2}])}$ .

Τότε με εφαρμογή αρχικά της A.M-G.M και μετά Jensen θα έχω:

$\displaystyle{\eta \mu \frac{{\rm A}}{2}\eta \mu \frac{{\rm B}}{2}\eta \mu \frac{\Gamma }{2} \le {\left( {\frac{{\eta \mu \frac{{\rm A}}{2} + \eta \mu \frac{{\rm B}}{2} + \eta \mu \frac{\Gamma }{2}}}{3}} \right)^3} \le {\left( {\eta \mu \left( {\frac{{\frac{{{\rm A} + {\rm B} + \Gamma }}{2}}}{3}} \right)} \right)^3} = {\left( {\eta \mu \left( {\frac{\pi }{6}} \right)} \right)^3} = \frac{1}{8}}$

'Η αμέσως jensen στην κοίλη ln(sinx)

orestisgotsis · #5

ΠΕΡΙΤΤΑ

parmenides51 · #6

orestisgotsis έγραψε:
parmenides51 έγραψε:5. Εαν είναι $\displaystyle{\phi=\tau o \xi \varepsilon\phi \frac{x\sqrt3}{2k-x}}$ και $\displaystyle{ \theta=\tau o \xi \varepsilon\phi \frac{2x-k}{k\sqrt3} }$ τότε να δειχθεί οτι $\displaystyle{\phi-\theta=\frac{\pi}{4}}$
Ή κάτι δεν πάει καλά ή εγώ κάνω κάπου λάθος.

Από τη δοσμένη έχουμε: $\displaystyle{\varepsilon \varphi \phi =\frac{x\sqrt{3}}{2k-x}\,\,\,\wedge \,\,\,\varepsilon \varphi \vartheta =\frac{2x-k}{k\sqrt{3}}}$ . Όμως $\displaystyle{\varepsilon \varphi \left( \phi -\vartheta \right)=\frac{\varepsilon \varphi \phi -\varepsilon \varphi \vartheta }{1+\varepsilon \varphi \phi \cdot \varepsilon \varphi \vartheta }=\frac{\frac{x\sqrt{3}}{2k-x}-\frac{2x-k}{k\sqrt{3}}}{1+\frac{x\sqrt{3}}{2k-x}\cdot \frac{2x-k}{k\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \varepsilon \varphi \left( \phi -\vartheta \right)=\varepsilon \varphi \frac{\pi }{6}\Rightarrow \phi -\vartheta =\frac{\pi }{6}}$ .

Κοιτώντας τις πράξεις σου δεν έχεις λάθος
κοιτώντας την εκφώνηση αλλά και την λύση στο Δελτίο του Πάλλα που την έχει με $\displaystyle{\frac{\pi}{4}}$
και αυτοί έκαναν λάθος πράξεις, εκβιάζοντας το αποτέλεσμα της εκφώνησης ,
μόνο όταν λυθούν όλα τα θέματα εξετάσεων θα έχουμε τις σωστές εκφωνήσεις
(τα τυπογραφικά δίνουν και παίρνουν και σε εκφωνήσεις αλλά και σε λύσεις)

Μπράβο Ορέστη

Υ.Γ. Το άλλο τυπογραφικό και σε λύση το είχαν σε παρόμοια άσκηση στην Τριγωνομετρία της ΣΜΑ το 1977 (εδώ)

#7

parmenides51 έγραψε:.
2. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\eta\mu \left(\frac{\pi}{2}\sigma\upsilon\nu x\right)=\sigma\upsilon\nu (\pi\eta\mu x)}$

Είναι :
$\displaystyle{\begin{array}{l} \eta \mu \left( {\frac{\pi }{2}\sigma \upsilon \nu x} \right) = \sigma \upsilon \nu (\pi \eta \mu x) \Leftrightarrow {\rm{\sigma \upsilon \nu }}\left( {\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{2}\sigma \upsilon \nu x} \right) = \sigma \upsilon \nu (\pi \eta \mu x) \Leftrightarrow \frac{\pi }{2}(1 - \sigma \upsilon \nu \chi ) = 2\kappa \pi \pm \pi \eta \mu \chi \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow 1 - \sigma \upsilon \nu \chi = 4\kappa \pm 2\eta \mu \chi \Leftrightarrow 2\eta \mu \chi - \sigma \upsilon \nu \chi = 4\kappa - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\,\,\,\,\,\,\, \vee \,\,\,\, - 2\eta \mu \chi - \sigma \upsilon \nu \chi = 4\kappa - 1\,\,\,\,\,(4) \\ \end{array}}$
Έστω : $\displaystyle{\,\,\,f(x) = 2\eta \mu \chi - \sigma \upsilon \nu \chi \,\,\,}$
Τότε : $\displaystyle{\,\,\,f(x) = {\rm{\rho \eta \mu (\chi + \varphi )}}\,\,\,{\rm{,}}\,\,\,\rho = \sqrt {{2^2} + {1^2}} {\rm{ = }}\sqrt 5 {\rm{,}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{\sigma \upsilon \nu \varphi = }}\frac{2}{{\sqrt 5 }}\,\,,\,\,\eta \mu \varphi = - \frac{1}{{\sqrt 5 }}}$
Επομένως : $\displaystyle{\,\,|f(x)| \le \sqrt 5 \,\,\,\,\,\,(2)\,}$

Από $\displaystyle{\,\,\,\,\,\,\,(1) \wedge (2) \Rightarrow \left| {4\kappa - 1} \right| \le \sqrt 5 \,\,\,\, \wedge \,\,\,\kappa \in {\rm Z} \Leftrightarrow \frac{{1 - \sqrt 5 }}{4} \le \kappa \le \frac{{1 + \sqrt 5 }}{4}\,\,\, \wedge \,\,\,\,\kappa \in {\rm Z} \Leftrightarrow \kappa = 0}$

Τότε $\displaystyle{\,\,\,\,(1) \Leftrightarrow 2\eta \mu \chi - \sigma \upsilon \nu \chi = - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)}$
Εστω γωνία $\displaystyle{\,\,\,\,{\rm{\omega }}\, \in (0,\frac{\pi }{2})}$ με $\displaystyle{\,\,\,\,{\rm{\varepsilon \varphi \omega = 2}}\,\,\,}$

Τότε :
$\displaystyle{\begin{array}{l} \,\,\,(3) \Leftrightarrow \varepsilon \varphi \omega \cdot \eta \mu \chi - \sigma \upsilon \nu \chi = - 1 \Leftrightarrow \eta \mu \omega \eta \mu \chi - \sigma \upsilon \nu \omega \sigma \upsilon \nu \chi = - 1 \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu (\omega + \chi ) = 1 \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu (\omega + \chi ) = \sigma \upsilon \nu 0 \Leftrightarrow \omega + \chi = 2\nu \pi \Leftrightarrow \chi = 2\nu \pi - \omega \,\,\,\,,\,\,\nu \in {\rm Z}\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\varepsilon \varphi \omega = 2 \\ \end{array}}$

Ομοίως από $\displaystyle{\,\,(4)\,\,\,}$ έχουμε ότι :
Θεωρούμε γωνία $\displaystyle{\,\,\,\,\theta \, \in (0,\frac{\pi }{2})\,\,\,\,}$ , με $\displaystyle{\,\,\,{\rm{\varepsilon \varphi \theta = 2}}\,\,\,}$ . Τότε :

$\displaystyle{\begin{array}{l} \,\,(4) \Leftrightarrow \varepsilon \varphi \theta \cdot \eta \mu \chi - \sigma \upsilon \nu \chi = - 1 \Leftrightarrow \eta \mu \theta \eta \mu \chi + \sigma \upsilon \nu \theta \sigma \upsilon \nu \chi = 1 \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu (\theta - \chi ) = 1 \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu (\theta - \chi ) = \sigma \upsilon \nu 0 \Leftrightarrow \theta - \chi = 2\lambda \pi \Leftrightarrow \chi = - 2\lambda \pi + \theta \,\,\,\,,\,\,\lambda \in {\rm Z}\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\varepsilon \varphi \theta = 2 \\ \end{array}}$

apotin · #8

parmenides51 έγραψε: 3. Να λυθεί η ανίσωση $\displaystyle{ \frac{2\eta\mu^2 x+\eta\mu x -1}{2\eta\mu^2 x -1}<0}$

Έστω $\displaystyle{\;\;\eta \mu x = y,\; - 1 \le y \le 1}$

Τότε η ανισότητα είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle{\left( {2{y^2} - 1} \right)\left( {2{y^2} + y - 1} \right) < 0 \Leftrightarrow - 1 < y < - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\;\; \vee \;\;\frac{1}{2} < y < \frac{{\sqrt 2 }}{2}}$

οπότε έχουμε:

$\displaystyle{ - 1 < \eta \mu x < - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow x \in \left( {2\kappa \pi + \frac{{5\pi }}{4},\;2\kappa \pi + \frac{{3\pi }}{2}} \right) \cup \left( {2\kappa \pi + \frac{{3\pi }}{2},\;2\kappa \pi + \frac{{7\pi }}{4}} \right),\;\;\kappa \in \mathbb{Z}}$

και

$\displaystyle{\frac{1}{2} < \eta \mu x < \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow x \in \left( {2\lambda \pi + \frac{\pi }{6},\;2\lambda \pi + \frac{\pi }{4}} \right) \cup \left( {2\lambda \pi + \frac{{3\pi }}{4},\;2\lambda \pi + \frac{{5\pi }}{6}} \right),\;\;\lambda \in \mathbb{Z}}$

: trig.png (9.83 KiB) Προβλήθηκε 978 φορές

apotin · #9

parmenides51 έγραψε: 4. Αν $\displaystyle{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{\Gamma}=\pi}$ και $\displaystyle{\widehat{A},\widehat{B},\widehat{\Gamma}>0}$ , να δείξετε οτι $\displaystyle{K=\eta\mu\frac{A}{2}\eta\mu\frac{B}{2}\eta\mu\frac{\Gamma}{2}\le \frac{1}{8}}$

Και μια τριγ/κή λύση

Έχουμε

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu {\rm A} + \sigma \upsilon \nu {\rm B} + \sigma \upsilon \nu \Gamma = 2\sigma \upsilon \nu \frac{{{\rm A} + {\rm B}}}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{{{\rm A} - {\rm B}}}{2} + 1 - 2\eta {\mu ^2}\frac{\Gamma }{2} = 1 + 2\sigma \upsilon \nu \frac{{{\rm A} + {\rm B}}}{2}\left( {\sigma \upsilon \nu \frac{{{\rm A} - {\rm B}}}{2} - \sigma \upsilon \nu \frac{{{\rm A} + {\rm B}}}{2}} \right) }$ $\displaystyle{ = 1 + 2\sigma \upsilon \nu \frac{{{\rm A} + {\rm B}}}{2}2\eta \mu \frac{{\rm B}}{2}\eta \mu \frac{{\rm A}}{2} = 1 + 4\eta \mu \frac{{\rm A}}{2}\eta \mu \frac{{\rm B}}{2}\eta \mu \frac{\Gamma }{2}}$

Είναι

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \alpha + \sigma \upsilon \nu \beta = 2\sigma \upsilon \nu \frac{{\alpha + \beta }}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{{\alpha - \beta }}{2} \le 2\sigma \upsilon \nu \frac{{\alpha + \beta }}{2}}$

Άρα

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu {\rm A} + \sigma \upsilon \nu {\rm B} + \sigma \upsilon \nu \Gamma + \sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{3} \le 2\sigma \upsilon \nu \frac{{{\rm A} + {\rm B}}}{2} + 2\sigma \upsilon \nu \frac{{\Gamma + \frac{\pi }{3}}}{2} \le 4\sigma \upsilon \nu \frac{{{\rm A} + {\rm B}\Gamma + \frac{\pi }{3}}}{4} = 4\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{3} = 2 \Rightarrow \sigma \upsilon \nu {\rm A} + \sigma \upsilon \nu {\rm B} + \sigma \upsilon \nu \Gamma \le \frac{3}{2}}$

οπότε

$\displaystyle{1 + 4\eta \mu \frac{{\rm A}}{2}\eta \mu \frac{{\rm B}}{2}\eta \mu \frac{\Gamma }{2} \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow \eta \mu \frac{{\rm A}}{2}\eta \mu \frac{{\rm B}}{2}\eta \mu \frac{\Gamma }{2} \le \frac{1}{8}}$

Η ισότητα ισχύει όταν $\displaystyle{\;\;{\rm A} = {\rm B} = \Gamma = \frac{\pi }{3}}$

Σ.Μ.Α. 1978 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Σ.Μ.Α. 1978 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1978 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1978 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1978 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1978 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1978 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1978 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1978 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1978 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση