ΕΜΠ 1960 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΜΗΧ.

parmenides51 · #1

Εξεταστής: Κορωναίος

1. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} (x+y)(x+w)=\alpha^2 \\ (y+w)(y+x)=\beta^2 \\ (w+x)(w+y)=\gamma^2 \end{cases}}$

2. Δυο ποδηλάτες ξεκινούν ακριβώς το μεσημέρι, ο ένας από Αθήνα και ο άλλος από Σούνιο.
Ο πρώτος εκτελεί την διαδρομή από Αθήνα ως Σούνιο κι επιστρέφει πάλι αμέσως στην Αθήνα,
ενώ ο δεύτερος εκτελεί την διαδρομή από Σούνιο προς Αθήνα κι επιστρέφει πάλι αμέσως προς Σούνιο.
Οι δυο ποδηλάτες συναντήθηκαν για δεύτερη φορά κατά την επιστροφή τους ακριβώς στις $\displaystyle{4}$ μ.μ.
σε απόσταση $\displaystyle{20}$ χιλιομέτρων από Αθήνα. Η απόσταση Αθηνών - Σουνίου είναι $\displaystyle{60}$ χιλιόμετρα.
Ποια ώρα οι δυο ποδηλάτες συναντήθηκαν για πρώτη φορά και σε ποιο σημείο του δρόμου;

3. Αν $\displaystyle{A,B,\mu,\nu}$ είναι θετικοί αριθμοί $\displaystyle{ \ne 1}$ , να δειχθεί οτι
α) $\displaystyle{\log_\mu A=\frac{\log_\nu A}{\log_\nu \mu}}$
β) $\displaystyle{\log_\mu A-\log_\nu B=\log_\mu B(\log_B A-\log_\nu \mu)=\log_\nu A(\log_\mu \nu-\log_A B)}$

4. α) Να τεθεί η παράσταση $\displaystyle{K=4x^2+12xy+11y^2-2y+4x+12}$
στην μορφή $\displaystyle{(\alpha {\color{red}x}+\beta y+\gamma)^2 +(\delta y+\varepsilon)^2+\xi}$ .
β) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμής της παράστασης αυτής για όλες τις πραγματικές τιμές των $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ .
Ποιες είναι οι τιμές των $\displaystyle{ x,y}$ που παρέχουν την ελάχιστη αυτή τιμή;

edit's
εσφαλμένες απόπειρες μετονομασίες δημοσίευσης
διόρθωση στο 4ο, ευχαριστώ τον Θανάση Κοντογεώργη (socrates) που το πρόσεξε

#2

parmenides51 έγραψε:Εξεταστής: Κορωναίος
3. Αν $\displaystyle{A,B,\mu,\nu}$ είναι θετικοί αριθμοί $\displaystyle{ \ne 1}$ , να δειχθεί οτι
α) $\displaystyle{\log_\mu A=\frac{\log_\nu A}{\log_\nu \mu}}$
β) $\displaystyle{\log_\mu A-\log_\nu B=\log_\mu B(\log_B A-\log_\nu \mu)=\log_\nu A(\log_\mu \nu-\log_A B)}$

α) Θεωρία (αλλαγή βάσης)

β) $\displaystyle{{\log _\mu }A - {\log _\nu }B = \frac{{\log A}}{{\log \mu }} - \frac{{\log B}}{{\log \nu }}}$ (1)

$\displaystyle{{\log _\mu }B\left( {{{\log }_B}A - {{\log }_\nu }\mu } \right) = \frac{{\log B}}{{\log \mu }} \cdot \frac{{\log A}}{{\log B}} - \frac{{\log B}}{{\log \mu }} \cdot \frac{{\log \mu }}{{\log \nu }} = \frac{{\log A}}{{{\mathop{\rm l}\nolimits} og\mu }} - \frac{{\log B}}{{\log \nu }}}$ (2)

$\displaystyle{{\log _\nu }A\left( {{{\log }_\mu }\nu - {{\log }_A}B} \right) = \frac{{\log A}}{{\log \nu }} \cdot \frac{{\log \nu }}{{\log \mu }} - \frac{{\log A}}{{\log \nu }} \cdot \frac{{\log B}}{{\log A}} = \frac{{\log A}}{{{\mathop{\rm l}\nolimits} og\mu }} - \frac{{\log B}}{{\log \nu }}}$ (3)

από (1), (2), (3), $\displaystyle{\log_\mu A-\log_\nu B=\log_\mu B(\log_B A-\log_\nu \mu)=\log_\nu A(\log_\mu \nu-\log_A B)}$ .

ΕΜΠ 1960 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΜΗΧ.

ΕΜΠ 1960 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1960 ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΡΧ. ΜΗΧ.

Μέλη σε σύνδεση