ΕΜΠ 1961 ΑΛΓΕΒΡΑ ΧΗΜ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ. + ΧΗΜ. ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

parmenides51 · #1

Εξεταστής: Θ. Σκουλικίδης

1. Να διερευνήσετε το κλάσμα $\displaystyle{ \frac{2x^4+8x^2+3}{2x^4+x^2-1} }$ και να βρείτε αν μπορεί αυτό να παίρνει όλες τις (πραγματικές) τιμές μεταξύ $\displaystyle{-\infty}$ και + $\displaystyle{\infty}$ για κάθε πραγματικό αριθμό $\displaystyle{ x}$ .

2. α) Να βρεθούν τα όρια των κλασμάτων $\displaystyle{\frac{y_1}{y_2}}$ και $\displaystyle{\frac{y_2'}{y_1'}}$ όπου $\displaystyle{ y_1=f_1(x)}$ για την ευθεία ( $\displaystyle{\varepsilon}$ ) και $\displaystyle{y_2=f_2(x)}$ για την παραβολή ( $\displaystyle{c}$ ) του σχήματος (1), $\displaystyle{ y_1'=f_1'(x) }$ για την ευθεία ( $\displaystyle{\varepsilon}$ ) και $\displaystyle{y_2'=f_2'(x)}$ για την παραβολή ( $\displaystyle{c}$ ) του σχήματος (2), όταν το $\displaystyle{x}$ για το πρώτο κλάσμα τείνει στο $\displaystyle{5}$ και για το δεύτερο στο $\displaystyle{ +\infty}$ .
β) Να αποδειχτεί αλγεβρικά οτι η παράσταση $\displaystyle{2^{4\nu+1}-2^{2\nu}-1}$ διαιρείται ακριβώς από το $\displaystyle{9}$ , όπου $\displaystyle{\nu}$ θετικός ακέραιος, δηλαδή φυσικός.

: σχημα 1 ΕΜΠ 1961 άλγεβρα ΧΜ.png (282.06 KiB) Προβλήθηκε 779 φορές

: σχημα 2 ΕΜΠ 1961 άλγεβρα ΧΜ.png (319.45 KiB) Προβλήθηκε 779 φορές

3. Να δειχθεί οτι $\displaystyle{(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)...(1-\nu)>1-(\alpha+\beta+\gamma+...+\nu)}$ όπου $\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma,...,\nu}$ θετικοί και μικρότεροι της μονάδας.

4. Η παρασκευή υδροβρωμίου από υδρογόνο και βρώμιο με την επίδραση φωτός πραγματοποιείται βάσει της ακόλουθης αντίδρασης
$\displaystyle{H_2+Br_2+E= 2HBr}$ , όπου $\displaystyle{E }$ η απορροφώμενη ενέργεια.
Η αντίδραση αυτή εκτελείται στις λεπτομέρειες της μέσω των παρακάτω μερικών σταδίων της, τα οποία συμβαίνουν ταυτοχρόνως, αλλά με διαφορετική ταχύτητα έκαστο.
$\displaystyle{Br_2+E\,\, \mathtop \limits{_{\longrightarrow}^{K_1}\,\, 2 Br}$
$\displaystyle{Br+H_2 \,\, \mathtop \limits{_{\longrightarrow}^{K_2}\,\, HBr + H}$
$\displaystyle{H+ Br_2\,\, \mathtop \limits{_{\longrightarrow}^{K_3}\,\, HBr + Br}$
$\displaystyle{H+ Br\,\, \mathtop \limits{_{\longrightarrow}^{K_4}\,\, H_2 +Br}$
$\displaystyle{2Br\,\, \mathtop \limits{_{\longrightarrow}^{K_5}\,\, Br_2}$ .
Να εκφράσετε την ολική ταχύτητα σχηματισμού του υδροβρωμίου ( $\displaystyle{U_{HBr}}$ ) συναρτήσει μόνο της έντασης, της φωτεινής ακτινοβολίας, των πιέσεων $\displaystyle{P_{Br},P_{H_2},P_{HBr}}$ και των σταθερών $\displaystyle{K_1,K_2,K_3,K_4,K_5}$ λαμβάνοντας υπόψη οτι:
α) Η ολική ταχύτητα σχηματισμού του $\displaystyle{HBr}$ και οποιουδήποτε σώματος υπεισερχόμενου στα στάδια $\displaystyle{ 1-5}$ ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των ταχυτήτων δημιουργίας και καταστροφής του από όλα τα μερικά στάδια $\displaystyle{1-5 }$ .
β) Η μερική ταχύτητα δημιουργίας ή καταστροφής οποιουδήποτε σώματος $\displaystyle{A}$ κατά οποιαδήποτε στάδιο εκφράζεται $\displaystyle{U_A'=+K_{\nu}P_{B}P_{\Gamma}}$ όπου $\displaystyle{U_A'}$ μερική ταχύτητα δημιουργίας ( $\displaystyle{+}$ ) ή καταστροφής ( $\displaystyle{-}$ ) του σώματος $\displaystyle{A ,K_{\nu}}$ σταθερά ( $\displaystyle{\nu=1,2,3,4,5}$ ) αναλόγως του μερικού σταδίου $\displaystyle{1,2,3,4,5}$ αντίστοιχα, $\displaystyle{ P_{B},P_{\Gamma}$ πιέσεις των σωμάτων $\displaystyle{ B,\Gamma }$ αντίστοιχα, η αλληλεπίδραση των οποίων (έστω κι αν ένα από αυτά αυτό το ίδιο σώμα $\displaystyle{A}$ , οπότε $\displaystyle{P_B=P_A}$ ) οδηγεί στην δημιουργία ή στην καταστροφή του σώματος $\displaystyle{A}$
γ) Η μερική ταχύτητα δημιουργίας των ατόμων $\displaystyle{HBr}$ κατά το μερικό στάδιο (1) ισούται με $\displaystyle{U_{Br}'=JK_1P_{Br} }$ , η ταχύτητα καταστροφής των ατόμων Βρωμίου κατά το μερικό στάδιο $\displaystyle{ 5}$ ισούται με $\displaystyle{U_{Br}''=-K_5P_{Br}^2}$ .

Υ.Γ. Σχετικά με το 4ο θέμα, στο Δελτίο του Πάλλα αναφέρεται σαν παρατήρηση οτι προς επίλυση της άσκησης δεν απαιτείται καμία γνώση Χημείας.

apotin · #2

parmenides51 έγραψε:Εξεταστής: Θ. Σκουλικίδης
1. Να διερευνήσετε το κλάσμα $\displaystyle{ \frac{2x^4+8x^2+3}{2x^4+x^2-1} }$ και να βρείτε αν μπορεί αυτό να παίρνει όλες τις (πραγματικές) τιμές μεταξύ $\displaystyle{-\infty}$ και + $\displaystyle{\infty}$ για κάθε πραγματικό αριθμό $\displaystyle{ x}$ .

Δεν ξέρω τι ακριβώς εννοεί με το "να διερευνήσετε"

Το κλάσμα ορίζεται για κάθε $\displaystyle{x \ne \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}}$
και στο ερώτημα αν μπορεί αυτό να παίρνει όλες τις (πραγματικές) τιμές μεταξύ $\displaystyle{-\infty}$ και $\displaystyle{+\infty}$ για κάθε πραγματικό αριθμό $\displaystyle{ x}$ ,

η απάντηση είναι όχι , αφού π.χ. δεν μπορεί να πάρει την τιμή $\displaystyle{1}$ , γιατί

$\displaystyle{\frac{{2{x^4} + 8{x^2} + 3}}{{2{x^4} + {x^2} - 1}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} = - \frac{4}{7}}$

parmenides51 · #3

κοιτώντας την δοθείσα λύση στο Δελτίο του Πάλλα, βλέπω οτι με τον όρο ''διερεύνηση''
ζητείται εύρεση πλήθους και είδους ριζών αλλά και συνόλου τιμών (για πραγματική μεταβλητή το τελευταίο)

apotin · #4

parmenides51 έγραψε:Εξεταστής: Θ. Σκουλικίδης
1. Να διερευνήσετε το κλάσμα $\displaystyle{ \frac{2x^4+8x^2+3}{2x^4+x^2-1} }$ .

Έχουμε

$\displaystyle{2{x^4} + {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {2{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}\;\; \vee \;\;x = \pm i}$

οπότε το κλάσμα ορίζεται για κάθε $\displaystyle{x \ne \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}\;\; \wedge \;\;x \ne \pm i}$

Το κλάσμα μηδενίζεται όταν $\displaystyle{2{x^4} + 8{x^2} + 3 = 0}$

που έχει επιλύουσα την $\displaystyle{2{z^2} + 8z + 3 = 0}$

με διακρίνουσα $\displaystyle{{\Delta _z} = 40}$ και ρίζες $\displaystyle{{z_{1,2}} = \frac{{ - 8 \pm 2\sqrt {10} }}{4}}$

άρα

$\displaystyle{{x^2} = - \frac{{8 \pm 2\sqrt {10} }}{4} \Leftrightarrow x = \pm i\sqrt {\frac{{8 \pm 2\sqrt {10} }}{4}} \Leftrightarrow x = \frac{{ \pm i}}{2}\sqrt {8 \pm 2\sqrt {10} } }$

Εύρεση του συνόλου τιμών του κλάσματος (με την τότε διαδικασία)

Έστω $\displaystyle{y \in \mathbb{R}}$

Τότε

$\displaystyle{y = \frac{{2{x^4} + 8{x^2} + 3}}{{2{x^4} + {x^2} - 1}} \Leftrightarrow \left( {y - 1} \right){x^4} + \left( {y - 8} \right){x^2} - \left( {y + 3} \right) = 0,\;\;y \ne 1\;\;\;\;\left( 1 \right)}$

(στο προηγούμενο δείξαμε ότι $\displaystyle{y \ne 1}$ )

που έχει επιλύουσα την $\displaystyle{\left( {y - 1} \right){w^2} + \left( {y - 8} \right)w - \left( {y + 3} \right) = 0,\;\;y \ne 1\;\;\;\;\left( 2 \right)}$

Έχουμε

$\displaystyle{{\Delta _w} = {y^2} - 8y + 88 = {\left( {y - 4} \right)^2} + 72 > 0}$

Άρα η $\displaystyle{(2)}$ έχει δύο πραγματικές ρίζες άνισες, $\displaystyle{{w_1} < {w_2}}$

με άθροισμα $\displaystyle{S = - \frac{{y - 8}}{{2\left( {y - 1} \right)}}}$ και γινόμενο $\displaystyle{P = - \frac{{y + 3}}{{2\left( {y - 1} \right)}}}$

στον παρακάτω πίνακα φαίνεται το είδος και το πλήθος των ριζών της $\displaystyle{(1)}$

: 1961-1.png (14.44 KiB) Προβλήθηκε 715 φορές

Επομένως η $\displaystyle{(1)}$ είναι αδύνατη για κάθε $\displaystyle{ - 3 < y < 1}$ , οπότε το κλάσμα παίρνει τιμές $\displaystyle{y \le - 3}$ ή $\displaystyle{y > 1}$

ΕΜΠ 1961 ΑΛΓΕΒΡΑ ΧΗΜ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ. + ΧΗΜ. ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

ΕΜΠ 1961 ΑΛΓΕΒΡΑ ΧΗΜ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ. + ΧΗΜ. ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

Re: ΕΜΠ 1961 ΑΛΓΕΒΡΑ ΧΗΜ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ. + ΧΗΜ. ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

Re: ΕΜΠ 1961 ΑΛΓΕΒΡΑ ΧΗΜ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ. + ΧΗΜ. ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

Re: ΕΜΠ 1961 ΑΛΓΕΒΡΑ ΧΗΜ. ΜΕΤΑΛΛ. ΜΗΧ. + ΧΗΜ. ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

Μέλη σε σύνδεση