ΕΜΠ 1961 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. ΜΗΧ.

parmenides51 · #1

Εξεταστής: Δ. Κορωναίος

1. Να αναλυθεί το κλάσμα $\displaystyle{ \frac{1}{x(x+1)(x+2)}}$ σε άθροισμα $\displaystyle{\frac{A}{x}+ \frac{B}{x+1}+ \frac{\Gamma}{x+2}}$ όπου $\displaystyle{ A,B,\Gamma }$ σταθεροί αριθμητικοί συντελεστές. Βάσει αυτού να υπολογιστεί το άθροισμα των $\displaystyle{\nu}$ πρώτων όρων της σειράς $\displaystyle{\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+ \frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+...+ \frac{1}{\nu \cdot (\nu +1)\cdot (\nu +2)}+...}$ . Προς ποιο όριο τείνει το άθροισμα αυτό όταν το $\displaystyle{ \nu }$ τείνει στο άπειρο;

2. Δίνεται οτι $\displaystyle{a^x=b^y}$ και $\displaystyle{x^b=y^a}$
α) Να εκφρασθούν τα $\displaystyle{ x }$ και $\displaystyle{y }$ συναρτήσει των $\displaystyle{a}$ και $\displaystyle{b}$
β) Να δειχθεί οτι $\displaystyle{\left(\frac{x}{\log_a b}\right)^a=\left(\frac{y}{\log_b a}\right)^b}$

3. Να λυθεί το σύστημα των εξισώσεων $\displaystyle{ \begin{cases} 5(x^2-y^2-1) +2x(5x-y-7)=0 \\ x^2-y^2-1+2y(5x-y-7)=0 \end{cases}}$

4. Για τον καθορισμό των στάσεων σε μια τροχιοδρομικη γραμμή λαμβάνονται υπόψη τα εξής:
Λαμβάνεται ιδεατή διάταξη των στάσεων ανά ίσες αποστάσεις $\displaystyle{x}$ . Λαμβάνεται ιδεατός μέσος επιβάτης , ο οποίος κατά την μετάβαση του από την κατοικία του $\displaystyle{K}$ στον τόπο εργασίας του $\displaystyle{E}$ έχει να διανύσει τις εξής αποστάσεις:
α) απόσταση $\displaystyle{ \alpha_1+ x_1}$ πεζός από την κατοικία του K μέχρι την στάση επιβίβασης του
β) διαδρομή $\displaystyle{\mu}$ μέσω του τροχιοδρομίου
γ) απόσταση $\displaystyle{x_2+ \alpha_2}$ πεζός από την στάση αποβίβασης μέχρι τον τόπο $\displaystyle{ E}$ της εργασίας του.
Οι αποστάσεις $\displaystyle{x_1}$ και $\displaystyle{x_2}$ λαμβάνονται κάθετα στην διαδρομή της γραμμής. Είναι προφανώς $\displaystyle{0\le x_1+x_2\le \frac{x}{2}+\frac{x}{2}=x}$ , όπου λαμβάνεται μέσον $\displaystyle{x_1+x_2= \frac{x}{2}}$ .
Έστω τέλος $\displaystyle{U_1}$ η ταχύτητα του τροχιοδρόμου σε κανονική πορεία εκτός των στάσεων, $\displaystyle{r}$ η σε κάθε στάση απώλεια χρόνου μέσω της μείωσης της ταχύτητας και της στάθμευσης, και $\displaystyle{U_2}$ η ταχύτητα του επιβάτη κατά την διαδρομή πεζός.
Ζητείται να καθορισθεί η απόσταση $\displaystyle{x }$ των στάσεων, ώστε να απαιτείται για τον μέσο επιβάτη ο ελάχιστος χρόνος κατά την μετάβαση του από την κατοικία του στην εργασία του (κάποια από τα παραπάνω δοθέντα μεγέθη δεν θα υπεισέλθουν στην ζητούμενη σχέση)
Αριθμητική εφαρμογή για $\displaystyle{\mu=1500}$ μέτρα, $\displaystyle{r=30}$ δευτερόλεπτα, $\displaystyle{ U_2=1,25}$ μέτρα ανά δευτερόλεπτο)

Υ.Γ. Επειδή η εκφώνηση στο 4ο είναι αρκετά περίεργη, το μεσημέρι θα την ξανακοιτάξω με βάση την δοθείσα λύση, μήπως και μπορεί να βελτιωθεί ώστε να είναι πιο κατανοητή (τα τυπογραφικά έδιναν και έπαιρναν τότε)

#2

3. Να λυθεί το σύστημα των εξισώσεων $\displaystyle{ \begin{cases} 5(x^2-y^2-1) +2x(5x-y-7)=0 \\ x^2-y^2-1+2y(5x-y-7)=0 \end{cases}}$

Πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη εξίσωση με

και αφαιρούμε κατά μέλη. Προκύπτει η εξίσωση $2\left(x-5y \right)\left(5x-y-7 \right)=0$
οπότε έχουμε τις εξής περιπτώσεις:

$\bullet$ $\boxed{x=5y}$
H πρώτη εξίσωση γίνεται 72y^2-14y-1=0

οπότε $\left(x,y \right)=\left(\dfrac{5}{4},\dfrac{1}{4} \right),\left(-\dfrac{5}{18},-\dfrac{1}{18} \right)$

$\bullet$ $\boxed{y=5x-7}$
Η πρώτη εξίσωση γίνεται 12x^2-35x+25=0

οπότε $\left(x,y \right)=\left(\dfrac{5}{3},\dfrac{4}{3} \right),\left(\dfrac{5}{4},-\dfrac{3}{4} \right)$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

parmenides51 έγραψε:Εξεταστής: Δ. Κορωναίος

1. Να αναλυθεί το κλάσμα $\displaystyle{ \frac{1}{x(x+1)(x+2)}}$ σε άθροισμα $\displaystyle{\frac{A}{x}+ \frac{B}{x+1}+ \frac{\Gamma}{x+2}}$ όπου $\displaystyle{ A,B,\Gamma }$ σταθεροί αριθμητικοί συντελεστές. Βάσει αυτού να υπολογιστεί το άθροισμα των $\displaystyle{\nu}$ πρώτων όρων της σειράς $\displaystyle{\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+ \frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+...+ \frac{1}{\nu \cdot (\nu +1)\cdot (\nu +2)}+...}$ . Προς ποιο όριο τείνει το άθροισμα αυτό όταν το $\displaystyle{ \nu }$ τείνει στο άπειρο;

Δεν επιθυμώ να κουράσω με πολλές πράξεις , αν και ο διορθωτής του 1961 θα ήθελε να δει όλες τις πράξεις να γίνονται αναλυτικότατα στο γραπτό....
Αν ήμουν υποψήφιος του 1961 θα τις έγραφα με κάθε λεπτομέρεια.

Εφαρμόζοντας αυτά που μαθαίνει ένας υποψήφιος της εποχής μας , διαπιστώνουμε ότι

$\displaystyle\frac{1}{x\left(x+1 \right)\left(x+2 \right)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}-\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x+2} \right)$

όπου $x=1,2,3,4,...,\nu -2,\nu -1,\nu$

Για x=1

έχω
$\displaystyle\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{2}{2}+\frac{1}{3} \right)$

Για x=2

έχω
$\displaystyle\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{1}{4} \right)$

Για x=3

έχω
$\displaystyle\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{2}{4}+\frac{1}{5} \right)$

Για x=4

έχω
$\displaystyle\frac{1}{4\cdot 5\cdot 6}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}-\frac{2}{5}+\frac{1}{6} \right)$

Για x=5

έχω
$\displaystyle\frac{1}{5\cdot 6\cdot 7}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}-\frac{2}{6}+\frac{1}{7} \right)$
.................................
.................................
.................................
.................................
Για $x=\nu -2$ έχω
$\displaystyle\frac{1}{\nu \left(\nu -1 \right)\left(\nu-2 \right)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\nu -2}-\frac{2}{\nu -1}+\frac{1}{\nu } \right)$

Για $x=\nu -1$ έχω
$\displaystyle\frac{1}{\nu \left(\nu -1 \right)\left(\nu+1 \right)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\nu -1}-\frac{2}{\nu }+\frac{1}{\nu+1 } \right)$

Για $x=\nu$ έχω
$\displaystyle\frac{1}{\nu \left(\nu +1 \right)\left(\nu+2 \right)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\nu }-\frac{2}{\nu+1 }+\frac{1}{\nu+2} \right)$

Προσθέτω τις παραπάνω ισότητες και καταλήγω ότι το ζητούμενο άθροισμα είναι ίσο με

$\displaystyle\frac{1}{4}-\frac{1}{\nu +1}+\frac{1}{2}\frac{1}{\nu +1}+\frac{1}{2}\frac{1}{\nu +2}=$

$\displaystyle\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\frac{1}{\nu +1}+\frac{1}{2}\frac{1}{\nu +2}$

Το άθροισμα αυτό όταν το $\nu$ τείνει στο άπειρο τείνει στο
$\displaystyle\frac{1}{4}-0+0=\frac{1}{4}$

#4

parmenides51 έγραψε:2. Δίνεται οτι $\displaystyle{a^x=b^y}$ και $\displaystyle{x^b=y^a}$
α) Να εκφρασθούν τα $\displaystyle{ x }$ και $\displaystyle{y }$ συναρτήσει των $\displaystyle{a}$ και $\displaystyle{b}$
β) Να δειχθεί οτι $\displaystyle{\left(\frac{x}{\log_a b}\right)^a=\left(\frac{y}{\log_b a}\right)^b}$

(α) Πρέπει $\displaystyle{a,b , x , y >0}$ . Με βάση τον περιορισμό αυτόν και τις υποθέσεις, συμπεραίνουμε ότι αποκλείεται να είναι $\displaystyle{a=1}$ και $\displaystyle{b\neq 1}$ ή

αντιστρόφως.

ΣΗΜ: Νομίζω όμως ότι αν $\displaystyle{a=b=1}$ υπάρχει πρόβλημα στην εκφώνηση. Έτσι , θα θεωρήσω ότι τα $\displaystyle{a ,b}$ δεν είναι ταυτόχρονα ίσα με την μονάδα

Λογαριθμίζοντας με βάση $\displaystyle{a}$ και τις δύο ισότητες, παίρνω:

$\displaystyle{x=ylog_a x}$ και $\displaystyle{blog_a x =alog_a y}$ και από το σύστημα αυτό βρίσκω ότι:

$\displaystyle{y=a^{\frac{blog_a (log_a b)}{a-b}}}$ και $\displaystyle{x=(log_a b )a^{\frac{blog_a (log_a b)}{a-b}}}$

(b) Αρκεί να δείξω ότι: $\displaystyle{alog_a \frac{x}{log_a b}=blog_a \frac{y}{log_b a}}$ , ή ότι:

$\displaystyle{a(log_a x -log_a (log_a b))=b(log_a y -log_a (log_b a))}$ , ή ότι:

$\displaystyle{a.\frac{alog_a y}{b}-alog_a (log_a b)=blog_a y-blog_a \frac{log_a a}{log_a b}}$ , ή:

$\displaystyle{\frac{a^2 -b^2}{b}log_a y =alog_a (log_a b)+blog_a (log_a b)}$ , ή:

$\displaystyle{\frac{(a-b)(a+b)}{b}.\frac{blog_a (log_a b)}{a-b}=(a+b)log_a(log_a b)}$ , το οποίο είναι αληθές.

ΕΜΠ 1961 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. ΜΗΧ.

ΕΜΠ 1961 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1961 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1961 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1961 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΟΠ. ΑΓΡΟΝ. ΜΗΧ.

Μέλη σε σύνδεση