ΙΚΑΡΩΝ 1970 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Να δειχθεί οτι σε κάθε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ αληθεύει η σχέση
$\displaystyle{K=(\beta+\gamma)\sigma \upsilon\nu A+(\gamma+\alpha)\sigma \upsilon\nu B+(\alpha+\beta)\sigma \upsilon\nu \Gamma=2\tau}$ όπου $\displaystyle{2\tau=\alpha+\beta+\gamma}$

2. Να δείξετε οτι $\displaystyle{\tau o\xi \varepsilon\phi \frac{1}{5}-\tau o\xi \varepsilon\phi \frac{1}{70}+\tau o\xi \varepsilon\phi \frac{11}{16}=\frac{\pi}{4}}$ όπου τα τόξα αναφέρονται μεταξύ $\displaystyle{0}$ και $\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}$

3. Να απαλειφθεί η γωνία $\displaystyle{ x}$ μεταξύ των εξισώσεων $\displaystyle{ \begin{cases} \eta\mu x+\sigma\upsilon \nu x=\alpha\\ \eta\mu 2x+\sigma\upsilon \nu 2x=\beta \end{cases}}$

4. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{ \eta\mu (2x+\frac{\pi}{2})=-\sigma\upsilon\nu (\pi-x)}$

5. Σε ένα τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι $\displaystyle{\beta=\alpha+1, \gamma=\alpha+2}$ και $\displaystyle{ \sigma\upsilon\nu A=\frac{3}{5}}$ .
Να υπολογισθούν τα $\displaystyle{\alpha, \varepsilon\phi \frac{B}{2}, \varepsilon\phi \frac{\Gamma}{2}}$ .

Tolaso J Kos · #2

parmenides51 έγραψε:
4. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{ \eta\mu (2x+\frac{\pi}{2})=-\sigma\upsilon\nu (\pi-x)}$

Να μου επιτρέψετε να χρησιμοποιήσω το $\displaystyle{\cos}$ για το συνημίτονο και το $\displaystyle{\sin}$ για το ημίτονο καθώς επίσης και $\displaystyle{\cos x =\sin\left ( \frac{\pi }{2}-x \right )\, \, \, \, (*)}$ και ότι $\displaystyle{\sin (-x)=-\sin x\, \, \, \, \, (**)}$

Είναι τότε:
$\displaystyle{\sin\left ( 2x+\frac{\pi }{2} \right )=-\cos\left ( \pi -x \right )\overset{*}{=}-\sin\left ( \frac{\pi }{2}-\pi +x \right )\overset{**}{=}\sin\left ( \pi -\frac{\pi }{2}-x \right )=\sin\left ( \pi /2-x \right )}$ .

Άρα είναι:
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 2x+\frac{\pi }{2}=2\kappa \pi +\pi /2-x\Leftrightarrow x=\frac{2\kappa \pi }{3} & \\ 2x+\frac{\pi }{2}=2\kappa \pi +\pi -\pi /2+x\Leftrightarrow x=2\kappa \pi & \end{matrix}\right.,\, \, \, k\in \mathbb{Z}}$

Μπέρδεψα τους τύπους για τα ημίτονα και συνημίτονα. Ευχαριστώ το parmenides51 και τον george visvikis για την ενημέρωση.
Τόλης

#3

parmenides51 έγραψε:1. Να δειχθεί οτι σε κάθε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ αληθεύει η σχέση
$\displaystyle{K=(\beta+\gamma)\sigma \upsilon\nu A+(\gamma+\alpha)\sigma \upsilon\nu B+(\alpha+\beta)\sigma \upsilon\nu \Gamma=2\tau}$ όπου $\displaystyle{2\tau=\alpha+\beta+\gamma}$

$\displaystyle{\beta \sigma \upsilon \nu \Gamma + \gamma \sigma \upsilon \nu {\rm B} = \frac{{{\beta ^2} + {\alpha ^2} - {\gamma ^2}}}{{2\alpha }} + \frac{{{\alpha ^2} + {\gamma ^2} - {\beta ^2}}}{{2\alpha }} = \alpha }$

Ομοίως, $\displaystyle{\alpha \sigma \upsilon \nu {\rm B} + \beta \sigma \upsilon \nu {\rm A} = \gamma ,\alpha \sigma \upsilon \nu \Gamma + \gamma \sigma \upsilon \nu {\rm A} = \beta }$ .

Άρα, $\displaystyle{K=(\beta+\gamma)\sigma \upsilon\nu A+(\gamma+\alpha)\sigma \upsilon\nu B+(\alpha+\beta)\sigma \upsilon\nu \Gamma$ = $\displaystyle{\alpha + \beta + \gamma = 2\tau }$

#4

parmenides51 έγραψε: 4. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{ \eta\mu (2x+\frac{\pi}{2})=-\sigma\upsilon\nu (\pi-x)}$

$\displaystyle{\eta \mu \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) = - \sigma \upsilon \nu x \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu 2x = \sigma \upsilon \nu x}$

$\displaystyle{(2x = 2k\pi + x \Leftrightarrow x = 2k\pi ,k \in Z)}$ ή $\displaystyle{(2x = 2k\pi - x \Leftrightarrow x = \frac{{2k\pi }}{3},k \in Z)}$

#5

parmenides51 έγραψε: 5. Σε ένα τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι $\displaystyle{\beta=\alpha+1, \gamma=\alpha+2}$ και $\displaystyle{ \sigma\upsilon\nu A=\frac{3}{5}}$ .
Να υπολογισθούν τα $\displaystyle{\alpha, \varepsilon\phi \frac{B}{2}, \varepsilon\phi \frac{\Gamma}{2}}$ .

$\displaystyle{{\alpha ^2} = {\beta ^2} + {\gamma ^2} - 2\beta \gamma \sigma \upsilon \nu {\rm A} \Leftrightarrow {\alpha ^2} = {(\alpha + 1)^2} + {(\alpha + 2)^2} - 2(\alpha + 1)(\alpha + 2) \cdot \frac{3}{5}}$

$\displaystyle{{\alpha ^2} - 12\alpha - 13 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{\alpha > 0} \alpha = 13}$ .

Άρα, $\displaystyle{\beta = 14,\gamma = 15}$ .

$\displaystyle{{\beta ^2} = {\alpha ^2} + {\gamma ^2} - 2\alpha \gamma \sigma \upsilon \nu {\rm B} \Leftrightarrow 196 = 394 - 390\sigma \upsilon \nu {\rm B} \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu {\rm B} = \frac{{33}}{{65}}}$

$\displaystyle{{\gamma ^2} = {\alpha ^2} + {\beta ^2} - 2\alpha \beta \sigma \upsilon \nu \Gamma \Leftrightarrow 225 = 365 - 364\sigma \upsilon \nu \Gamma \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \Gamma = \frac{{35}}{{91}}}$

Είναι γνωστό ότι $\displaystyle{\varepsilon {\varphi ^2}\frac{x}{2} = \frac{{1 - \sigma \upsilon \nu x}}{{1 + \sigma \upsilon \nu x}}}$ . Επομένως:

$\displaystyle{\varepsilon {\varphi ^2}\frac{{\rm B}}{2} = \frac{{65 - 33}}{{65 + 33}} = \frac{{32}}{{98}} = \frac{{16}}{{49}} \Leftrightarrow \varepsilon \varphi \frac{{\rm B}}{2} = \frac{4}{7}}$

$\displaystyle{\varepsilon {\varphi ^2}\frac{\Gamma }{2} = \frac{{91 - 35}}{{91 + 35}} = \frac{{56}}{{126}} = \frac{4}{9} \Leftrightarrow \varepsilon \varphi \frac{\Gamma }{2} = \frac{2}{3}}$

(Απορρίφθηκαν οι αρνητικές τιμές των εφαπτομένων, επειδή το τρίγωνο είναι οξυγώνιο αφού $\displaystyle{{15^2} < {13^2} + {14^2}}$ )

Paolos · #6

3. Να απαλειφθεί η γωνία $\displaystyle{ x}$ μεταξύ των εξισώσεων $\displaystyle{ \begin{cases} \eta\mu x+\sigma\upsilon \nu x=\alpha\\ \eta\mu 2x+\sigma\upsilon \nu 2x=\beta \end{cases}}$

$\displaystyle{\eta \mu \chi + \sigma \upsilon \nu \chi = \alpha \,\,\,(1)}$
$\displaystyle{\eta \mu 2\chi + \sigma \upsilon \nu 2\chi = \beta \,\,(2)}$

$\displaystyle{(1) \Rightarrow \eta \mu \chi = \alpha - \sigma \upsilon \nu \chi }$ .

Άρα

$\displaystyle{(2) \Rightarrow 2\eta \mu \chi \sigma \upsilon \nu \chi + 2\sigma \upsilon {\nu ^2}\chi - 1 = \beta \Rightarrow }$

$\displaystyle{2\sigma \upsilon \nu \chi (\alpha - \sigma \upsilon \nu \chi ) + 2\sigma \upsilon {\nu ^2}\chi - 1 = \beta \Rightarrow }$

$\displaystyle{2\alpha \sigma \upsilon \nu \chi = \beta + 1 \Rightarrow }$

$\displaystyle{4{\alpha ^2}\sigma \upsilon {\nu ^2}\chi = {(\beta + 1)^2}\,\,\,(*)}$ .

Υψώνοντας τη σχέση $\displaystyle{(1)}$ στο τετράγωνο παίρνουμε

$\displaystyle{{(\eta \mu \chi + \sigma \upsilon \nu \chi )^2} = {\alpha ^2} \Rightarrow }$

$\displaystyle{\eta {\mu ^2}\chi + \sigma \upsilon {\nu ^2}\chi + 2\eta \mu \chi \sigma \upsilon \nu \chi = {\alpha ^2} \Rightarrow }$

$\displaystyle{\eta \mu 2\chi = {\alpha ^2} - 1}$ .

Άρα $\displaystyle{(2) \Rightarrow \sigma \upsilon \nu 2\chi = \beta - \eta \mu 2\chi \Rightarrow \sigma \upsilon \nu 2\chi = \beta - {\alpha ^2} + 1 \Rightarrow \sigma \upsilon {\nu ^2}\chi = \frac{{\beta - {\alpha ^2} + 2}}{2}\,\,\,(**)}$

Από τις σχέσεις $\displaystyle{(*),(**) \Rightarrow }$
$\displaystyle{\frac{{{{(\beta + 1)}^2}}}{{2{\alpha ^2}}} = \beta - {\alpha ^2} + 2}$

!!!!!!καλές γιορτές σε όλους, καλή αντάμωση το 2014!!!!!!!!

apotin · #7

parmenides51 έγραψε: 2. Να δείξετε οτι $\displaystyle{\tau o\xi \varepsilon\phi \frac{1}{5}-\tau o\xi \varepsilon\phi \frac{1}{70}+\tau o\xi \varepsilon\phi \frac{11}{16}=\frac{\pi}{4}}$ όπου τα τόξα αναφέρονται μεταξύ $\displaystyle{0}$ και $\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}$

Ισχύει

$\displaystyle{\tau o\xi \varepsilon \phi a + \tau o\xi \varepsilon \phi b = \tau o\xi \varepsilon \phi \frac{{a + b}}{{1 - ab}}}$

Τότε

$\displaystyle{\tau o\xi \varepsilon \phi \frac{1}{5} - \tau o\xi \varepsilon \phi \frac{1}{{70}} + \tau o\xi \varepsilon \phi \frac{{11}}{{16}} = \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow }$ $\displaystyle{\tau o\xi \varepsilon \phi \frac{1}{5} + \tau o\xi \varepsilon \phi \frac{{11}}{{16}} = \tau o\xi \varepsilon \phi \frac{1}{{70}} + \tau o\xi \varepsilon \phi 1 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\tau o\xi \varepsilon \phi \frac{{\frac{1}{5} + \frac{{11}}{{16}}}}{{1 - \frac{1}{5} \cdot \frac{{11}}{{16}}}} = \tau o\xi \varepsilon \phi \frac{{\frac{1}{{70}} + 1}}{{1 - \frac{1}{{70}}}} \Leftrightarrow \tau o\xi \varepsilon \phi \frac{{71}}{{69}} = \tau o\xi \varepsilon \phi \frac{{71}}{{69}}}$

που ισχύει

ΙΚΑΡΩΝ 1970 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΙΚΑΡΩΝ 1970 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1970 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1970 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1970 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1970 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1970 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1970 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση