ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1970 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Να δείξετε οτι η παράσταση $\displaystyle{A=\sigma\upsilon\nu^2\alpha+\sigma\upsilon\nu^2\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)-\sigma\upsilon\nu\alpha\sigma\upsilon\nu\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)}$ είναι ανεξάρτητη του $\displaystyle{\alpha}$

2. Θεωρήστε γνωστό οτι σε κάθε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ αληθεύουν μεταξύ των γωνιών του και των πλευρών του
οι σχέσεις: $\displaystyle{\begin{cases} \alpha^2=\beta^2+\gamma^2-2\beta\gamma\sigma\upsilon\nu A \\ \beta^2=\alpha^2+\gamma^2-2\alpha\gamma\sigma\upsilon\nu B \\ \gamma^2=\alpha^2+\gamma^2-2\alpha\beta\sigma\upsilon\nu \Gamma \end{cases} }$

α) Γιατί το σύστημα αυτό είναι θεμελιώδες για το τρίγωνο;
β) Πως από αυτές μπορεί να προκύψει το άλλο θεμελιώδες: $\displaystyle{\begin{cases} \alpha=\beta\sigma\upsilon\nu \Gamma+\gamma\sigma\upsilon\nu B \\ \beta=\gamma\sigma\upsilon\nu A+\alpha\sigma\upsilon\nu \Gamma \\ \gamma=\alpha\sigma\upsilon\nu B+\beta\sigma\upsilon\nu A \end{cases}}$

3. Να δείξετε την αλήθεια της ταυτότητας $\displaystyle{ \eta\mu x+\eta\mu y+\eta\mu \phi -\eta\mu (x+y+\phi)=4\eta\mu\frac{x+y}{2}\eta\mu\frac{y+\phi}{2}\eta\mu\frac{\phi+x}{2}}$

4. Να υπολογισθεί η γωνία $\displaystyle{x}$ εαν δίνεται οτι $\displaystyle{ \sigma\upsilon\nu x=-\frac{5}{13}\,\,,\,\,\pi<x<\frac{3\pi}{2}}$

Υ.Γ. Στο 4ο θέμα, στο Δελτίο του Πάλλα με την παραπάνω διατύπωση υπολογίζει στην λύση ημίτονο και εφαπτομένη μόνο .

#2

parmenides51 έγραψε:1. Να δείξετε οτι η παράσταση $\displaystyle{A=\sigma\upsilon\nu^2\alpha+\sigma\upsilon\nu^2\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)-\sigma\upsilon\nu\alpha\sigma\upsilon\nu\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)}$ είναι ανεξάρτητη του $\displaystyle{\alpha}$

$\displaystyle{{\rm A} = \sigma \upsilon {\nu ^2}\alpha + \sigma \upsilon \nu \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right)\left[ {\sigma \upsilon \nu \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right) - \sigma \upsilon \nu \alpha } \right]}$

$\displaystyle{{\rm A} = \sigma \upsilon {\nu ^2}\alpha + \left( {\frac{1}{2}\sigma \upsilon \nu \alpha - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\eta \mu \alpha } \right)\left( {\frac{1}{2}\sigma \upsilon \nu \alpha - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\eta \mu \alpha - \sigma \upsilon \nu \alpha } \right)}$

$\displaystyle{{\rm A} = \sigma \upsilon {\nu ^2}\alpha - \left( {\frac{1}{2}\sigma \upsilon \nu \alpha - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\eta \mu \alpha } \right)\left( {\frac{1}{2}\sigma \upsilon \nu \alpha + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\eta \mu \alpha } \right)}$

$\displaystyle{{\rm A} = \sigma \upsilon {\nu ^2}\alpha - \left( {\frac{{\sigma \upsilon {\nu ^2}\alpha }}{4} - \frac{{3\eta {\mu ^2}\alpha }}{4}} \right) = \frac{{3\sigma \upsilon {\nu ^2}\alpha + 3\eta {\mu ^2}\alpha }}{4} = \frac{3}{4}}$

#3

parmenides51 έγραψε:
2. Θεωρήστε γνωστό οτι σε κάθε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ αληθεύουν μεταξύ των γωνιών του και των πλευρών του
οι σχέσεις: $\displaystyle{\begin{cases} \alpha^2=\beta^2+\gamma^2-2\beta\gamma\sigma\upsilon\nu A \\ \beta^2=\alpha^2+\gamma^2-2\alpha\gamma\sigma\upsilon\nu B \\ \gamma^2=\alpha^2+\gamma^2-2\alpha\beta\sigma\upsilon\nu \Gamma \end{cases} }$

α) Γιατί το σύστημα αυτό είναι θεμελιώδες για το τρίγωνο;
β) Πως από αυτές μπορεί να προκύψει το άλλο θεμελιώδες: $\displaystyle{\begin{cases} \alpha=\beta\sigma\upsilon\nu \Gamma+\gamma\sigma\upsilon\nu B \\ \beta=\gamma\sigma\upsilon\nu A+\alpha\sigma\upsilon\nu \Gamma \\ \gamma=\alpha\sigma\upsilon\nu B+\beta\sigma\upsilon\nu A \end{cases}}$

α) Γιατί αν γνωρίζουμε τρία από τα κύρια στοιχεία του τριγώνου (Π-Π-Π, Π-Γ-Π, Γ-Π-Γ ή Γ-Γ-Π) μπορούμε να υπολογίσουμε και τα υπόλοιπα.

β) Θα αποδείξω την πρώτη σχέση. Ομοίως αποδεικνύονται και οι άλλες.

$\displaystyle{{\beta ^2} = {\alpha ^2} + {\gamma ^2} - 2\alpha \gamma \sigma \upsilon \nu {\rm B} \Leftrightarrow \gamma \sigma \upsilon \nu {\rm B} = \frac{{{\alpha ^2} + {\gamma ^2} - {\beta ^2}}}{{2\alpha }}}$

$\displaystyle{{\gamma ^2} = {\alpha ^2} + {\beta ^2} - 2\alpha \beta \sigma \upsilon \nu \Gamma \Leftrightarrow \beta \sigma \upsilon \nu \Gamma = \frac{{{\alpha ^2} + {\beta ^2} - {\gamma ^2}}}{{2\alpha }}}$

Με πρόσθεση κατά μέλη: $\displaystyle{\gamma \sigma \upsilon \nu {\rm B} + \beta \sigma \upsilon \nu \Gamma = \frac{{2{\alpha ^2}}}{{2\alpha }} = \alpha }$ .

#4

parmenides51 έγραψε: 3. Να δείξετε την αλήθεια της ταυτότητας $\displaystyle{ \eta\mu x+\eta\mu y+\eta\mu \phi -\eta\mu (x+y+\phi)=4\eta\mu\frac{x+y}{2}\eta\mu\frac{y+\phi}{2}\eta\mu\frac{\phi+x}{2}}$

$\displaystyle{\eta \mu x + \eta \mu y + \eta \mu \varphi - \eta \mu (x + y + \varphi ) = }$

$\displaystyle{2\eta \mu \frac{{x + y}}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{{x - y}}{2} - 2\eta \mu \frac{{x + y}}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{{x + y + 2\varphi }}{2} = }$

$\displaystyle{2\eta \mu \frac{{x + y}}{2}\left( {\sigma \upsilon \nu \frac{{x - y}}{2} - \sigma \upsilon \nu \frac{{x + y + 2\varphi }}{2}} \right) = }$

$\displaystyle{4\eta \mu \frac{{x + y}}{2}\eta \mu \frac{{\frac{{2y + 2\varphi }}{2}}}{2}\eta \mu \frac{{\frac{{2x + 2\varphi }}{2}}}{2} = 4\eta \mu \frac{{x + y}}{2}\eta \mu \frac{{y + \varphi }}{2}\eta \mu \frac{{x + \varphi }}{2}}$

#5

parmenides51 έγραψε: 4. Να υπολογισθεί η γωνία $\displaystyle{x}$ εαν δίνεται οτι $\displaystyle{ \sigma\upsilon\nu x=-\frac{5}{13}\,\,,\,\,\pi<x<\frac{3\pi}{2}}$

Υ.Γ. Στο 4ο θέμα, στο Δελτίο του Πάλλα με την παραπάνω διατύπωση υπολογίζει στην λύση ημίτονο και εφαπτομένη μόνο .

$\displaystyle{\eta {\mu ^2}x = 1 - {\left( { - \frac{5}{{13}}} \right)^2} = 1 - \frac{{25}}{{169}} = \frac{{144}}{{169}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{\eta \mu x < 0} \eta \mu x = - \frac{{12}}{{13}}}$

$\displaystyle{\varepsilon \varphi x = \frac{{\eta \mu x}}{{\sigma \upsilon \nu x}} = \frac{{12}}{5}}$

ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1970 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1970 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1970 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1970 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1970 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1970 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση