Σ.Μ.Α. 1970 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Να βρεθούν τα θετικά τόξα $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ τα οποία επαληθεύουν το σύστημα $\displaystyle{ \begin{cases} \displaystyle \eta\mu x\eta\mu y=\frac{1}{2}\\ \displaystyle \sigma\upsilon\nu x+\sigma\upsilon\nu y=\frac{\sqrt3}{2} \end{cases}}$

2. Να κατασκευασθεί και να επιλυθεί ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{ AB\Gamma}$ ( $\displaystyle{\widehat{A}=90^o}$ ) όταν γνωρίζουμε
την ακτίνα $\displaystyle{\rho}$ του εγγεγραμμένου του κύκλου και το μήκος $\displaystyle{\delta_\alpha}$ της διχοτόμου $\displaystyle{A\Delta}$ της γωνίας $\displaystyle{\widehat{A}}$ .

3. Να δειχθεί οτι εαν είναι $\displaystyle{\left|\frac{\sigma\upsilon \nu \phi}{\eta\mu \omega}\right|>1}$ , θα είναι και $\displaystyle{\left|\frac{\sigma\upsilon \nu \omega }{\eta\mu \phi}\right|>1}$ και $\displaystyle{|\sigma\phi \phi \sigma\phi\omega |>1}$ .
Αντιστρόφως, εαν από τις τρεις ανισότητες αληθεύει η τελευταία, τότε θα αληθεύουν και οι άλλες δυο.

4. Να επιλυθεί και να κατασκευαστεί τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ από την περίμετρο του $\displaystyle{2\tau}$ ,
το ύψος του $\displaystyle{AK=u_\alpha}$ και την εσωτερική του διχοτόμο $\displaystyle{A\Delta =\delta_\alpha}$

5. Να βρεθούν σε ακτίνια τα τόξα $\displaystyle{x}$ για τα οποία $\displaystyle{\frac{4x^2-9}{2\eta\mu^2x-\sigma\upsilon\nu x-1}\le 0}$ και $\displaystyle{ -2\pi\le x<\pi}$

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:3. Να δειχθεί οτι εαν είναι $\displaystyle{\left|\frac{\sigma\upsilon \nu \phi}{\eta\mu \omega}\right|>1}$ , θα είναι και $\displaystyle{\left|\frac{\sigma\upsilon \nu \omega }{\eta\mu \phi}\right|>1}$ και $\displaystyle{|\sigma\phi \phi \sigma\phi\omega |>1}$ .
Αντιστρόφως, εαν από τις τρεις ανισότητες αληθεύει η τελευταία, τότε θα αληθεύουν και οι άλλες δυο.

εδώ

parmenides51 έγραψε:5. Να βρεθούν σε ακτίνια τα τόξα $\displaystyle{x}$ για τα οποία $\displaystyle{\frac{4x^2-9}{2\eta\mu^2x-\sigma\upsilon\nu x-1}\le 0}$ και $\displaystyle{ -2\pi\le x<\pi}$

εδώ

apotin · #3

parmenides51 έγραψε:1. Να βρεθούν τα θετικά τόξα $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ τα οποία επαληθεύουν το σύστημα $\displaystyle{ \begin{cases} \displaystyle \eta\mu x\eta\mu y=\frac{1}{2}\\ \displaystyle \sigma\upsilon\nu x+\sigma\upsilon\nu y=\frac{\sqrt3}{2} \end{cases}}$

Έχουμε

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} \eta \mu \chi \eta \mu \psi = \frac{1}{2}\\ \sigma \upsilon \chi + \sigma \upsilon \nu \psi = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sigma \upsilon \nu \left( {\chi - \psi } \right) - \sigma \upsilon \nu \left( {\chi + \psi } \right) = 1\\ 2\sigma \upsilon \nu \frac{{\chi + \psi }}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{{\chi - \psi }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2\sigma \upsilon {\nu ^2}\frac{{\chi - \psi }}{2} - 1 - 2\sigma \upsilon {\nu ^2}\frac{{\chi + \psi }}{2} + 1 = 1\\ \sigma \upsilon \nu \frac{{\chi + \psi }}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{{\chi - \psi }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{4} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sigma \upsilon {\nu ^2}\frac{{\chi - \psi }}{2} - \sigma \upsilon {\nu ^2}\frac{{\chi + \psi }}{2} = \frac{1}{2}\\ \sigma \upsilon \nu \frac{{\chi + \psi }}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{{\chi - \psi }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{4} \end{array} \right.}$

Έστω $\displaystyle{\alpha = \sigma \upsilon \nu \frac{{\chi - \psi }}{2}}$ και $\displaystyle{\beta = \sigma \upsilon \nu \frac{{\chi + \psi }}{2}}$

τότε έχουμε το σύστημα

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} {\alpha ^2} - {\beta ^2} = \frac{1}{2}\\ \alpha \beta = \frac{{\sqrt 3 }}{4} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha ^2} - \frac{3}{{16{\alpha ^2}}} = \frac{1}{2}\\ \beta = \frac{{\sqrt 3 }}{{4\alpha }} \end{array} \right. \Leftrightarrow }$ \displaystyle{\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l}
16{\alpha ^4} - 8{\alpha ^2} + 1 = 4\\
\beta = \frac{{\sqrt 3 }}{{4\alpha }}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {4{\alpha ^2} - 1} \right)^2} = 4\\
\beta = \frac{{\sqrt 3 }}{{4\alpha }}
\end{array} \right. \Leftrightarrow }} $\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} 4{\alpha ^2} - 1 = \pm 2\\ \beta = \frac{{\sqrt 3 }}{{4\alpha }} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha ^2} = \frac{3}{4}\\ \beta = \frac{{\sqrt 3 }}{{4\alpha }} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \alpha = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \beta = \pm \frac{1}{2} \end{array} \right.}$

Άρα

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} \sigma \upsilon \nu \frac{{\chi - \psi }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \sigma \upsilon \nu \frac{{\chi + \psi }}{2} = \frac{1}{2} \end{array} \right.\;\; \vee \;\;\left. \begin{array}{l} \sigma \upsilon \nu \frac{{\chi - \psi }}{2} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \sigma \upsilon \nu \frac{{\chi + \psi }}{2} = - \frac{1}{2} \end{array} \right\} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\chi - \psi }}{2} = 2\kappa \pi \pm \frac{\pi }{6},\;\kappa \in \mathbb{Z}\\ \frac{{\chi + \psi }}{2} = 2\lambda \pi \pm \frac{\pi }{3},\;\lambda \in \mathbb{Z} \end{array} \right.\;\; \vee \;\;\left. \begin{array}{l} \frac{{\chi - \psi }}{2} = 2\kappa \pi \pm \frac{{5\pi }}{6},\;\kappa \in \mathbb{Z}\\ \frac{{\chi + \psi }}{2} = 2\lambda \pi \pm \frac{{2\pi }}{3},\;\lambda \in \mathbb{Z} \end{array} \right\}}$

Με θετικές λύσεις τις

$\displaystyle{\left( {\chi = 2\kappa \pi + \frac{\pi }{2}\;\; \wedge \;\;\psi = 2\lambda \pi + \frac{\pi }{6}} \right)\;\; \vee \;\;}$ \displaystyle{\displaystyle{\left( {\chi = 2\kappa \pi + \frac{{3\pi }}{2}\;\; \wedge\;\;\psi = 2\lambda \pi + \frac{{11\pi }}{6}} \right)\;\; \vee \;\;}} $\displaystyle{\left( {\chi = 2\kappa \pi + \frac{\pi }{6}\;\; \wedge\;\;\psi = 2\lambda \pi + \frac{\pi }{2}} \right)\;\; \vee \;\;}$ $\displaystyle{\left( {\chi = 2\kappa \pi + \frac{{11\pi }}{6}\;\; \wedge\;\;\psi = 2\lambda \pi + \frac{{3\pi }}{2}} \right)}$
όπου $\displaystyle{\kappa ,\;\lambda \in \mathbb{N}}$

Σ.Μ.Α. 1970 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Σ.Μ.Α. 1970 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1970 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1970 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση