ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1970 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Από το κοινό σημείο $\displaystyle{A}$ δυο εξωτερικά εφαπτόμενων κύκλων $\displaystyle{(K)}$ και $\displaystyle{(K' )}$ κέντρων $\displaystyle{K }$ και $\displaystyle{ K'}$ κι ακτίνων $\displaystyle{R}$ και $\displaystyle{R'}$ αντίστοιχα, όπου $\displaystyle{R>R'}$ , φέρνουμε δυο κάθετες χορδές $\displaystyle{AM }$ και $\displaystyle{AM'}$ , όπου $\displaystyle{M}$ σημείο του κύκλου $\displaystyle{(K)}$ και $\displaystyle{(M')}$ σημείο του κύκλου $\displaystyle{(K' )}$ . Να ορισθεί η θέση των σημείων $\displaystyle{M}$ και $\displaystyle{M' }$ ώστε να είναι $\displaystyle{MM'=\lambda}$ , όπου $\displaystyle{\lambda}$ δοθέν ευθύγραμμο τμήμα.

2. Θεωρούμε κύκλο διαμέτρου $\displaystyle{AOB}$ κι ακτίνας $\displaystyle{R}$ . Έστω $\displaystyle{(\delta)}$ η εφαπτομένη του στο σημείο $\displaystyle{B}$ . Εκατέρωθεν της $\displaystyle{AB}$ φέρνουμε δυο ημιευθείες $\displaystyle{Ax}$ και $\displaystyle{Ay}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{\widehat{BAx}=45^o}$ και $\displaystyle{$ \widehat{BAy}=30^o }

\displaystyle{Ax} τέμνει την

\displaystyle{(\delta) } στο σημείο

\displaystyle{\Gamma } και τον κύκλο στο

\displaystyle{E} . H

\displaystyle{Ay} τέμνει την

\displaystyle{(\delta)} στο σημείο

\displaystyle{\Delta} και τον κύκλο στο

\displaystyle{H} . Να υπολογισθούν
α) οι

\displaystyle{A\Gamma,B\Gamma,\Gamma\Delta, AE,AH} και

\displaystyle{EH} συναρτήσει του

\displaystyle{R} β) η γωνία

\displaystyle{ \widehat{EZH}} όπου

\displaystyle{Z} το αντιδιαμετρικό σημείο του

\displaystyle{E}

. <span style="font-size:150%;line-height:116%"><strong class="text-strong">3.</strong></span> Κανονική πυραμίδα έχει βάση τετράγωνο πλευράς

\displaystyle{\alpha} και οι παράπλευρες της έδρες έχουν κλίση προς την βάση ίση με

\displaystyle{15^o}$. Να υπολογισθεί ο όγκος και η ολική επιφάνειά της.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

parmenides51 έγραψε: 2. Θεωρούμε κύκλο διαμέτρου $\displaystyle{AOB}$ κι ακτίνας $\displaystyle{R}$ . Έστω $\displaystyle{(\delta)}$ η εφαπτομένη του στο σημείο $\displaystyle{B}$ . Εκατέρωθεν της $\displaystyle{AB}$ φέρνουμε δυο ημιευθείες $\displaystyle{Ax}$ και $\displaystyle{Ay}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{\widehat{BAx}=45^o}$ και $\displaystyle{$ \widehat{BAy}=30^o }\displaystyle{Ax}\displaystyle{(\delta) }\displaystyle{\Gamma }\displaystyle{E}\displaystyle{Ay}\displaystyle{(\delta)}\displaystyle{\Delta}\displaystyle{H}\displaystyle{A\Gamma,B\Gamma,\Gamma\Delta, AE,AH}\displaystyle{EH}\displaystyle{R}\displaystyle{ \widehat{EZH}}\displaystyle{Z}\displaystyle{E}\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }\displaystyle{{\rm A}{\rm B} = {\rm B}\Gamma = 2R}\displaystyle{{\rm A}{\Gamma ^2} = A{B^2} + B{\Gamma ^2} = 8{R^2} \Leftrightarrow A\Gamma = 2R\sqrt 2 }B\Delta $\displaystyle{A$ είναι $\displaystyle{B\widehat A\Delta = {30^0} \Leftrightarrow B\Delta = \frac{{A\Delta }}{2}}$ και

$\displaystyle{AB = 2R = \frac{{A\Delta \sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow A\Delta = \frac{{4R\sqrt 3 }}{3}}$ . Οπότε $\displaystyle{B\Delta = \frac{{2R\sqrt 3 }}{3}}$ .

Άρα, $\displaystyle{\Gamma \Delta = 2R + \frac{{2R\sqrt 3 }}{3} = \frac{R}{3}\left( {6 + 2\sqrt 3 } \right)}$

$\displaystyle{AE = R\sqrt 2 }$ (ως πλευρά τετραγώνου εγγεγραμμένου στον κύκλο).

Στο ορθογώνιο τρίγωνο είναι $\displaystyle{H\widehat AB = {30^0} \Leftrightarrow AH = R\sqrt 3 }$

$\displaystyle{E\widehat AH = {75^0} \Leftrightarrow E\widehat OH = {150^0}}$ . Από νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο είναι:

$\displaystyle{E{H^2} = 2{R^2} - 2{R^2}\sigma \upsilon \nu 150 = 2{R^2}\left( {1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = {R^2}(2 + \sqrt 3 )}$ . Οπότε \displaystyle{R\sqrt {2 + \sqrt 3 } }\displaystyle{E\widehat ZH = E\widehat AH = {75^0}}$

Συνημμένα

Ευελπίδων 1970.png (13.31 KiB) Προβλήθηκε 3545 φορές