ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1971 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Η εφαπτομένη στο μέσο $\displaystyle{M}$ της πλευράς $\displaystyle{B\Gamma}$ τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ του κύκλου που διέρχεται από το μέσα $\displaystyle{M,\Sigma,P}$ των πλευρών του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ , τέμνει τις ευθείες $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{A\Gamma}$ αντίστοιχα στα σημεία $\displaystyle{Z}$ και $\displaystyle{E}$ . Να δείξετε οτι τα σημεία $\displaystyle{B,E,\Gamma,Z}$ ανήκουν στον ίδιο κύκλο.

2. Από το σημείο τομής $\displaystyle{\Delta}$ δυο τεμνόμενων κύκλων $\displaystyle{K}$ και $\displaystyle{\Lambda}$ , φέρνουμε ευθείες $\displaystyle{A\Delta A' , B\Delta B'}$ και $\displaystyle{\Gamma\Delta\Gamma'}$ , όπου τα $\displaystyle{A,B,\Gamma}$ ανήκουν στον κύκλο $\displaystyle{K}$ και τα $\displaystyle{A',B',\Gamma'$ στον κύκλο $\Lambda$ . Να δείξετε οτι τα τρίγωνα $AB\Gamma$ και $A'B'\Gamma'$ είναι όμοια.

3. Εαν οι απέναντι πλευρές τετραέδρου είναι ορθογώνιες, να αποδείξετε οτι τα γινόμενα των απέναντι ακμών του είναι αντιστρόφως ανάλογα των αντίστοιχων ελαχίστων αποστάσεων αυτών.

#2

parmenides51 έγραψε:1. Η εφαπτομένη στο μέσο $\displaystyle{M}$ της πλευράς $\displaystyle{B\Gamma}$ τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ του κύκλου που διέρχεται από το μέσα $\displaystyle{M,\Sigma,P}$ των πλευρών του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ , τέμνει τις ευθείες $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{A\Gamma}$ αντίστοιχα στα σημεία $\displaystyle{Z}$ και $\displaystyle{E}$ . Να δείξετε οτι τα σημεία $\displaystyle{B,E,\Gamma,Z}$ ανήκουν στον ίδιο κύκλο.

: Ευελπίδων 1.1971.png (17.85 KiB) Προβλήθηκε 614 φορές

Έστω $\displaystyle{\widehat {\rm A},\widehat {\rm B},\widehat \Gamma }$ οι γωνίες του τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ . Αρκεί να δείξω ότι $\displaystyle{{\rm Z}\widehat {\rm E}\Gamma = {\rm Z}\widehat {\rm B}\Gamma }$

Είναι $\displaystyle{{\rm Z}\widehat {\rm B}\Gamma = \widehat {\rm A} + \widehat \Gamma }$ (1)(ως εξωτερική γωνία του τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ ).

$\displaystyle{{\rm M}\widehat \Sigma {\rm E} = \widehat {\rm A}}$ (ως εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων $\displaystyle{{\rm M}\Sigma ,{\rm A}{\rm B}}$ )

$\displaystyle{{\rm M}\widehat {\rm P}\Sigma = \Sigma \widehat {\rm M}{\rm E}}$ (εγγεγραμμένη και γωνία χορδής κι εφαπτομένης που βαίνουν στο ίδιο τόξο)

Αλλά $\displaystyle{{\rm M}\widehat {\rm P}\Sigma = \widehat \Gamma }$ από το παραλληλόγραμμο $\displaystyle{{\rm P}\Sigma \Gamma {\rm M}}$ . Άρα, $\displaystyle{\Sigma \widehat {\rm M}{\rm E} = \widehat \Gamma }$ .

$\displaystyle{{\rm Z}\widehat {\rm E}\Gamma = \Sigma \widehat {\rm M}{\rm E} + {\rm M}\widehat \Sigma {\rm E} \Leftrightarrow {\rm Z}\widehat {\rm E}\Gamma = \widehat {\rm A} + \widehat \Gamma }$ (2)

.

Από (1) και (2) προκύπτει η ζητούμενη σχέση $\displaystyle{{\rm Z}\widehat {\rm E}\Gamma = {\rm Z}\widehat {\rm B}\Gamma }$

#3

parmenides51 έγραψε:
2. Από το σημείο τομής $\displaystyle{\Delta}$ δυο τεμνόμενων κύκλων $\displaystyle{K}$ και $\displaystyle{\Lambda}$ , φέρνουμε ευθείες $\displaystyle{A\Delta A' , B\Delta B'}$ και $\displaystyle{\Gamma\Delta\Gamma'}$ , όπου τα $\displaystyle{A,B,\Gamma}$ ανήκουν στον κύκλο $\displaystyle{K}$ και τα $\displaystyle{A',B',\Gamma'$ στον κύκλο $\Lambda$ . Να δείξετε οτι τα τρίγωνα $AB\Gamma$ και $A'B'\Gamma'$ είναι όμοια.

: Ευελπίδων 2.1971.png (21.77 KiB) Προβλήθηκε 608 φορές

Από τα εγγεγραμμένα τετράπλευρα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta ,{\rm A}'{\rm B}'\Gamma '\Delta }$ , είναι $\displaystyle{{\rm A}\widehat {\rm B}\Gamma = \Gamma \widehat \Delta {\rm B}' = {\rm A}'\widehat {{\rm B}'}\Gamma '}$
Είναι ακόμα: $\displaystyle{{\rm B}\widehat {\rm A}\Gamma = {\rm B}\widehat \Delta \Gamma = {\rm B}'\widehat \Delta \Gamma ' = {\rm B}'\widehat {{\rm A}'}\Gamma '}$ .

Επομένως τα τρίγωνα $AB\Gamma$ και $A'B'\Gamma'$ είναι όμοια, αφού έχουν δύο αντίστοιχες γωνίες ίσες.

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1971 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1971 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1971 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1971 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση