ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1971 - ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. Εαν $\displaystyle{\log 2=0,30103}$ , να υπολογισθεί ο λογάριθμος της παράστασης $\displaystyle{ \Pi=\sqrt{0,125^3}\cdot 0,05^{1,4} }$

2. Να αποδείξετε οτι το κλάσμα $\displaystyle{\frac{x^2+3x+4}{x^2-3x+4}}$ δεν μπορεί να πάρει τιμή ούτε μεγαλύτερη του $\displaystyle{7}$ ,
ούτε μικρότερη του $\displaystyle{\frac{1}{7}}$ για κάθε πραγματική τιμή του $\displaystyle{x}$ .

3. Να αποδειχθεί οτι $\displaystyle{\sqrt[3]{\sqrt5 +{\color{red}2}}-\sqrt[3]{\sqrt5 -{\color{red}2}}=1}$

edit
διόρθωση στο 3ο, ευχαριστώ τον Θάνο (Μάγκο) που το πρόσεξε

hlkampel · #2

parmenides51 έγραψε:3. Να αποδειχθεί οτι $\displaystyle{\sqrt[3]{\sqrt5 +{\color{red}2}}-\sqrt[3]{\sqrt5 -{\color{red}2}}=1}$

Αν $\alpha = \sqrt[3]{{\sqrt 5 + 2}} \Leftrightarrow {\alpha ^3} = \sqrt 5 + 2$ και $\beta = \sqrt[3]{{\sqrt 5 - 2}} \Leftrightarrow {\beta ^3} = \sqrt 5 - 2$ τότε

$\alpha \beta = \sqrt[3]{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}} \Leftrightarrow \alpha \beta = 1$

$A = \sqrt[3]{{\sqrt 5 + 2}} - \sqrt[3]{{\sqrt 5 - 2}} \Leftrightarrow {\rm A} = \alpha - \beta \Leftrightarrow$

${{\rm A}^3} = {\alpha ^3} - {\beta ^3} - 3\alpha \beta \left( {\alpha - \beta } \right) \Leftrightarrow {{\rm A}^3} = \sqrt 5 + 2 - \sqrt 5 + 2 - 3 \cdot {\rm A} \Leftrightarrow$

${{\rm A}^3} + 3{\rm A} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {{\rm A} - 1} \right)\left( {{{\rm A}^2} + {\rm A} + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow {\rm A} = 1\;\dot \eta \;{{\rm A}^2} + {\rm A} + 4 = 0$ αδύνατη στο

αφού $\Delta = - 15 < 0$

Άρα $\sqrt[3]{{\sqrt 5 + 2}} - \sqrt[3]{{\sqrt 5 - 2}} = 1$

Γιώργος Απόκης · #3

parmenides51 έγραψε: 2. Να αποδείξετε οτι το κλάσμα $\displaystyle{\frac{x^2+3x+4}{x^2-3x+4}}$ δεν μπορεί να πάρει τιμή ούτε μεγαλύτερη του $\displaystyle{7}$ ,
ούτε μικρότερη του $\displaystyle{\frac{1}{7}}$ για κάθε πραγματική τιμή του $\displaystyle{x}$ .

Είναι $\displaystyle{x^2-3x+4>0}$ αφού έχει $\displaystyle{\Delta=-7<0}$ .

$\displaystyle{\bullet}$ Έστω ότι $\displaystyle{\frac{x^2+3x+4}{x^2-3x+4}>7\Rightarrow x^2+3x+4>7(x^2-3x+4)\Rightarrow 6x^2-24x+24<0\Rightarrow 6(x-2)^2<0 }$ άτοπο.

$\displaystyle{\bullet}$ Έστω ότι $\displaystyle{\frac{x^2+3x+4}{x^2-3x+4}<\frac{1}{7}\Rightarrow 7(x^2+3x+4)<x^2-3x+4\Rightarrow 6x^2+24x+24<0\Rightarrow 6(x+2)^2<0 }$ άτοπο.

BAGGP93 · #4

parmenides51 έγραψε:

2. Να αποδείξετε οτι το κλάσμα $\displaystyle{\frac{x^2+3x+4}{x^2-3x+4}}$ δεν μπορεί να πάρει τιμή ούτε μεγαλύτερη του $\displaystyle{7}$ ,
ούτε μικρότερη του $\displaystyle{\frac{1}{7}}$ για κάθε πραγματική τιμή του $\displaystyle{x}$ .

$\displaystyle{x^2-3\,x+4=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+4-\frac{9}{4}=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\geq \frac{7}{4}>0}$

Συνεπώς, το κλάσμα ορίζεται για κάθε πραγματική τιμή της μεταβλητής $\displaystyle{x}$ .

Έτσι, για $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ έχουμε

$\displaystyle{\begin{aligned} \frac{1}{7}\leq \frac{x^2+3\,x+4}{x^2-3\,x+4}\leq 7&\Leftrightarrow x^2-3\,x+4\leq 7\,\left(x^2+3\,x+4\right)\leq 49\,\left(x^2-3\,x+4\right)\\&\Leftrightarrow -6\,x^2-24\,x-24\leq 0\,\land -6\,x^2+24\,x-24\leq 0\\&\Leftrightarrow x^2+4\,x+4\geq 0\,\land x^2-4\,x+4\geq 0\\&\Leftrightarrow \left(x+2\right)^2\geq 0\,\land \left(x-2\right)^2\geq 0\end{aligned}}$

Οι δύο τελευταίες ανισότητες ισχύουν, άρα $\displaystyle{\forall x\in\mathbb{R}:\frac{1}{7}\leq \frac{x^2+3\,x+4}{x^2-3\,x+4}\leq 7}$

Η αριστερή ισότητα επιτυγχάνεται για $\displaystyle{x=-2}$ ενώ η δεξιά για $\displaystyle{x=2}$

edit : Μόλις τώρα είδα ότι με πρόλαβε ο κύριος Γιώργος. Την αφήνω διότι είναι λίγο διαφορετική.

Γιώργος Απόκης · #5

parmenides51 έγραψε:1. Εαν $\displaystyle{\log 2=0,30103}$ , να υπολογισθεί ο λογάριθμος της παράστασης $\displaystyle{ \Pi=\sqrt{0,125^3}\cdot 0,05^{1,4} }$

Έχουμε $\displaystyle{\log\Pi=\log\left(\sqrt{0,125^3}\cdot 0,05^{1,4}\right)=\log\sqrt{0,125^3}+\log 0,05^{1,4}=}$

$\displaystyle{\frac{1}{2}\log 0,125^3+\log 0,05^{1,4}=\frac{3}{2}\log 0,125+1,4\log 0,05=\frac{3}{2}\log\frac{1}{8}+1,4\log\frac{1}{20}=}$

$\displaystyle{-\frac{3}{2}\log 8-1,4\log 20=-\frac{3}{2}\log 2^3-1,4\log (10\cdot2)=-\frac{9}{2}\log 2-1,4(1+\log 2)=}$

$\displaystyle{-5,9\log 2-1,4=-5,9\cdot 0,30103-1,4=-3,17608}$

nikolaos p. · #6

parmenides51 έγραψε: 2. Να αποδείξετε οτι το κλάσμα $\displaystyle{\frac{x^2+3x+4}{x^2-3x+4}}$ δεν μπορεί να πάρει τιμή ούτε μεγαλύτερη του $\displaystyle{7}$ ,
ούτε μικρότερη του $\displaystyle{\frac{1}{7}}$ για κάθε πραγματική τιμή του $\displaystyle{x}$ .

Επίσης λύνεται με μονοτονία και ακρότατα, αν ορίσουμε ως συνάρτηση το δεδομένο κλάσμα (έχει Π.Ο το σύνολο R).
Παρουσιάζει ακρότατα στο -2 και στο 2 με τιμές 1/7 και 7 αντίστοιχα, ενώ έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο + και στο - άπειρο την ευθεία y=1, το οποίο μας διασφαλίζει οτι δεν παίρνει τιμές μεγαλύτερες του 7 ή μικρότερες του 1/7.

Γιώργος Απόκης · #7

nikolaos p. έγραψε:
parmenides51 έγραψε: 2. Να αποδείξετε οτι το κλάσμα $\displaystyle{\frac{x^2+3x+4}{x^2-3x+4}}$ δεν μπορεί να πάρει τιμή ούτε μεγαλύτερη του $\displaystyle{7}$ ,
ούτε μικρότερη του $\displaystyle{\frac{1}{7}}$ για κάθε πραγματική τιμή του $\displaystyle{x}$ .
Επίσης λύνεται με μονοτονία και ακρότατα, αν ορίσουμε ως συνάρτηση το δεδομένο κλάσμα (έχει Π.Ο το σύνολο R).
Παρουσιάζει ακρότατα στο -2 και στο 2 με τιμές 1/7 και 7 αντίστοιχα, ενώ έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο + και στο - άπειρο την ευθεία y=1, το οποίο μας διασφαλίζει οτι δεν παίρνει τιμές μεγαλύτερες του 7 ή μικρότερες του 1/7.

Αυτή ήταν σίγουρα η πρώτη σκέψη όλων μας αλλά τα θέματα ήταν Άλγεβρας γι' αυτό επιλέξαμε άλλους τρόπους.

Christos.N · #8

2. Να αποδείξετε οτι το κλάσμα $\displaystyle{\frac{x^2+3x+4}{x^2-3x+4}}$ δεν μπορεί να πάρει τιμή ούτε μεγαλύτερη του $\displaystyle{7}$ ,
ούτε μικρότερη του $\displaystyle{\frac{1}{7}}$ για κάθε πραγματική τιμή του $\displaystyle{x}$ .

Μια άλλη προσέγγιση, της εποχής...

Έστω $\displaystyle{\frac{{x^2 + 3x + 4}}{{x^2 - 3x + 4}} = y}$ όπου $\displaystyle{y \in R}$

$\displaystyle{ \frac{{x^2 - 3x + 4}}{{x^2 + 3x + 4}} = y \Rightarrow (1 - y)x^2 + 3(1 + y)x + 4(1 - y) = 0 }$

*Το τριώνυμο που προκύπτει για $\displaystyle{y \ne 1}$ έχει πάντα λύση ως προς

.

Συνεπώς,
$\displaystyle{ \begin{array}{l} \Delta \ge 0 \Rightarrow 9(1 + y)^2 - 16(1 - y)^2 \ge 0 \Rightarrow \\ (7y - 1)(7 - y) \ge 0 \Rightarrow \frac{1}{7} \le y \le 7 \Rightarrow \frac{1}{7} \le \frac{{x^2 + 3x + 4}}{{x^2 - 3x + 4}} \le 7 \\ \end{array} }$

*Για $\displaystyle{y = 1}$ έχουμε

$\frac{{x^2 - 3x + 4}}{{x^2 + 3x + 4}} = 1 \Rightarrow x = 0$ , άρα $\frac{1}{7} \le \frac{{x^2 + 3x + 4}}{{x^2 - 3x + 4}} \le 7$ για κάθε $x\in R$ .

*Υ.Γ.: Συμπλήρωσα μέρος της απόδειξης , ευχαριστώ Γιώργο.

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1971 - ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1971 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1971 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1971 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1971 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1971 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1971 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1971 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1971 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση