Σ.T.Y.Α. 1971 ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. Δυο αριθμοί διαφέρουν κατά $\displaystyle{5}$ . Το γινόμενο αυτών είναι μεγαλύτερο του τετραγώνου του μεγαλυτέρου κατά $\displaystyle{100}$ . Ποιοι είναι οι αριθμοί;

2. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\displaystyle{ \begin{cases} \displaystyle \frac{x}{3}= \frac{y}{4}=\frac{w}{{\color{red}2}}\\ 2x+3y+4w=52 \end{cases}} }$

3. Να απλοποιηθεί η παράσταση $\displaystyle{A=\left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{\gamma}{\alpha\beta}\right)(\alpha+\beta+\gamma):\left(\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{\gamma^2}{\alpha^2\beta^2}\right)}$

Υ.Γ. Τα θέματα ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΥΑ 1971 δεν τα είχε στο Δελτίο του Πάλλα, αν κάποιος έχει κάποια άλλη πηγή, θα χαιρόμασταν ιδιαίτερα να τα μοιραστεί μαζί μας.

edit
διόρθωση αριθμού στο 2ο, είχε υπογραφικό η εκφώνηση στο Δελτίο του Πάλλα, το είδα εκ των υστέρων κοιτάζοντας την δοθείσα λύση

Γιώργος Απόκης · #2

parmenides51 έγραψε:1. Δυο αριθμοί διαφέρουν κατά $\displaystyle{5}$ . Το γινόμενο αυτών είναι μεγαλύτερο του τετραγώνου του μεγαλυτέρου κατά $\displaystyle{100}$ . Ποιοι είναι οι αριθμοί;

Έστω $\displaystyle{x,y}$ οι αριθμοί με $\displaystyle{x>y}$ τότε έχουμε $\displaystyle{y=x-5~(1)}$ και $\displaystyle{xy=x^2+100~(2)}$ .

Αντικαθιστούμε την (1) στην (2) και έχουμε $\displaystyle{x(x-5)=x^2+100\Leftrightarrow x^2-5x=x^2+100\Leftrightarrow x=-20}$ και άρα $\displaystyle{y=-25}$ .

parmenides51 έγραψε:2. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\displaystyle{ \begin{cases} \displaystyle \frac{x}{3}= \frac{y}{4}=\frac{w}{2}\\ 2x+3y+4w=52 \end{cases}} }$

Έστω $\displaystyle{ \frac{x}{3}= \frac{y}{4}=\frac{w}{1}=a\Leftrightarrow \begin{cases}x=3a \\y=4a \\w=2a \end{cases}}$ .

Αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση του αρχικού συστήματος και έχουμε $\displaystyle{6a+12a+8a=52\Leftrightarrow a=2}$

και άρα $\displaystyle{x=6,~y=8,~w=4}$

parmenides51 έγραψε:3. Να απλοποιηθεί η παράσταση $\displaystyle{A=\left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{\gamma}{\alpha\beta}\right)(\alpha+\beta+\gamma):\left(\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{\gamma^2}{\alpha^2\beta^2}\right)}$

Έχουμε $\displaystyle{\frac{1}{a}+\frac{1}{\beta}+\frac{\gamma}{a\beta}=\frac{\beta+a+\gamma}{a\beta}}$ και $\displaystyle{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{\gamma^2}{a^2\beta^2}=\frac{\beta^2+a^2+\gamma^2}{a^2\beta^2}}$ άρα η παράσταση γίνεται

$\displaystyle{A=\frac{\beta+a+\gamma}{a\beta}\cdot(a+\beta+\gamma)\cdot \frac{a^2\beta^2}{\beta^2+a^2+\gamma^2} =\frac{a\beta(a+\beta+\gamma)^2}{a^2+\beta^2+\gamma^2}}$

Edit (11:05) Έγινε αλλαγή στη λύση της 2, μετά τη διόρθωση του τυπογραφικού στην εκφώνηση

Σ.T.Y.Α. 1971 ΑΛΓΕΒΡΑ

Σ.T.Y.Α. 1971 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.T.Y.Α. 1971 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση