ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1974 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Εαν $\displaystyle{(1+\sigma\upsilon\nu x)(1+\sigma\upsilon\nu y)=(1-\sigma\upsilon\nu x)(1-\sigma\upsilon\nu y)}$ και $\displaystyle{x,y \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]}$ ,
τότε να αποδειχθεί $\displaystyle{(1+\sigma\upsilon\nu x)(1+\sigma\upsilon\nu y)=\eta\mu x\eta\mu y}$

2. Να αποδειχθεί η ταυτότητα $\displaystyle{\varepsilon\phi 3\alpha-\varepsilon\phi 2\alpha-\varepsilon\phi {\color{red}\alpha}=\varepsilon\phi 3\alpha\varepsilon\phi 2\alpha\varepsilon\phi \alpha}$

3. Να αποδειχθεί οτι σε κάθε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ ισχύει $\displaystyle{\alpha=\beta\sigma\upsilon\nu \Gamma+\gamma\sigma\upsilon\nu B}$

4. Να βρείτε την γωνία $\displaystyle{\widehat{A} }$ από την σχέση $\displaystyle{\varepsilon\phi 3A=-\sqrt3}$

edit
διόρθωση στο 2ο, ευχαριστώ τον Γιώργο Βισβίκη που το πρόσεξε

#2

parmenides51 έγραψε:1. Εαν $\displaystyle{(1+\sigma\upsilon\nu x)(1+\sigma\upsilon\nu y)=(1-\sigma\upsilon\nu x)(1-\sigma\upsilon\nu y)}$ και $\displaystyle{x,y \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]}$ ,
τότε να αποδειχθεί $\displaystyle{(1+\sigma\upsilon\nu x)(1+\sigma\upsilon\nu y)=\eta\mu x\eta\mu y}$

$\displaystyle{(1 + \sigma \upsilon \nu x)(1 + \sigma \upsilon \nu y) = (1 - \sigma \upsilon \nu x)(1 - \sigma \upsilon \nu y) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu x + \sigma \upsilon \nu y = 0 \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu x = - \sigma \upsilon \nu y \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu x = \sigma \upsilon \nu \left( {\pi - y} \right)}$

Επειδή όμως, $\displaystyle{x,y \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow 0 \le x + y \le \pi }$ , απ' όπου προκύπτει $\displaystyle{x + y = \pi }$ .

$\displaystyle{(1 + \sigma \upsilon \nu x)(1 + \sigma \upsilon \nu y) = (1 + \sigma \upsilon \nu x)(1 - \sigma \upsilon \nu x) = }$

$\displaystyle{1 - \sigma \upsilon {\nu ^2}x = \eta {\mu ^2}x = \eta \mu x \cdot \eta \mu (\pi - x) = \eta \mu x\eta \mu y}$

#3

parmenides51 έγραψε: 2. Να αποδειχθεί η ταυτότητα $\displaystyle{\varepsilon\phi 3\alpha-\varepsilon\phi 2\alpha-\varepsilon\phi {\color{red}\alpha}=\varepsilon\phi 3\alpha\varepsilon\phi 2\alpha\varepsilon\phi \alpha}$

$\displaystyle{\varepsilon \varphi 3\alpha - \varepsilon \varphi 2\alpha - \varepsilon \varphi \alpha = \varepsilon \varphi (2\alpha + \alpha ) - \varepsilon \varphi 2\alpha - \varepsilon \varphi \alpha = }$

$\displaystyle{\frac{{\varepsilon \varphi 2\alpha + \varepsilon \varphi \alpha }}{{1 - \varepsilon \varphi 2\alpha \varepsilon \varphi \alpha }} - \frac{{\varepsilon \varphi 2\alpha - \varepsilon {\varphi ^2}2\alpha \varepsilon \varphi \alpha }}{{1 - \varepsilon \varphi 2\alpha \varepsilon \varphi \alpha }} - \frac{{\varepsilon \varphi \alpha - \varepsilon {\varphi ^2}\alpha \varepsilon \varphi 2\alpha }}{{1 - \varepsilon \varphi 2\alpha \varepsilon \varphi \alpha }} = }$

$\displaystyle{\frac{{\varepsilon {\varphi ^2}2\alpha \varepsilon \varphi \alpha + \varepsilon {\varphi ^2}\alpha \varepsilon \varphi 2\alpha }}{{1 - \varepsilon \varphi 2\alpha \varepsilon \varphi \alpha }} = \frac{{\varepsilon \varphi \alpha \varepsilon \varphi 2\alpha (\varepsilon \varphi 2\alpha + \varepsilon \varphi \alpha )}}{{1 - \varepsilon \varphi 2\alpha \varepsilon \varphi \alpha }} = \varepsilon \varphi \alpha \varepsilon \varphi 2\alpha \varepsilon \varphi 3\alpha }$

#4

parmenides51 έγραψε: 3. Να αποδειχθεί οτι σε κάθε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ ισχύει $\displaystyle{\alpha=\beta\sigma\upsilon\nu \Gamma+\gamma\sigma\upsilon\nu B}$

4. Να βρείτε την γωνία $\displaystyle{\widehat{A} }$ από την σχέση $\displaystyle{\varepsilon\phi 3A=-\sqrt3}$

3. Από Νόμο συνημιτόνων έχουμε:
$\displaystyle{{\beta ^2} = {\alpha ^2} + {\gamma ^2} - 2\alpha \gamma \sigma \upsilon \nu {\rm B} \Leftrightarrow \gamma \sigma \upsilon \nu {\rm B} = \frac{{{\alpha ^2} + {\gamma ^2} - {\beta ^2}}}{{2\alpha }}}$

$\displaystyle{{\gamma ^2} = {\alpha ^2} + {\beta ^2} - 2\alpha \beta \sigma \upsilon \nu \Gamma \Leftrightarrow \gamma \sigma \upsilon \nu {\rm B} = \frac{{{\alpha ^2} + {\beta ^2} - {\gamma ^2}}}{{2\alpha }}}$

Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε το ζητούμενο $\displaystyle{\alpha=\beta\sigma\upsilon\nu \Gamma+\gamma\sigma\upsilon\nu B}$

4. $\displaystyle{\varepsilon \varphi 3{\rm A} = - \varepsilon \varphi \frac{\pi }{3} = \varepsilon \varphi \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)}$

$\displaystyle{3{\rm A} = \kappa \pi - \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow {\rm A} = \frac{{\kappa \pi }}{3} - \frac{\pi }{9},\kappa \in {\rm Z}}$

ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1974 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1974 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1974 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1974 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1974 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση