ΙΚΑΡΩΝ 1974 ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. Εαν $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma,x,y,z}$ είναι πραγματικοί αριθμοί και πληρούν τις σχέσεις $\displaystyle{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1}$
και $\displaystyle{x^2+y^2+z^2=1}$ , να αποδείξετε οτι $\displaystyle{(\alpha x +\beta y+\gamma z)^2\le 1}$

2. Να βρεθούν τρεις αριθμοί $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ που να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου
εαν γνωρίζουμε οτι η διαφορά της $\displaystyle{ \omega }$ είναι ίση με $\displaystyle{1}$ και οτι το άθροισμα τους ισούται με το γινόμενο τους.

3. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} \displaystyle\frac{2x-y+w}{3x-y+w}=\frac{5}{3} \\ \displaystyle \frac{x-3y+w}{y-2w+1}=-1 \\ \displaystyle \frac{x+y+w}{2x-y+w}=-1 \end{cases}}$

4. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} 5x+4z+2t=3 \\ x-y+2z+t=1 \\ 4x+y+2z=1 \\ x+y+z+t=0 \end{cases}}$

5. Να αποδειχθεί η ταυτότητα $\displaystyle{\alpha(\alpha+\beta)(\alpha+2\beta)(\alpha+3\beta)+\beta^4=(\alpha^2+3\alpha\beta+\beta^2)^2}$

Γιώργος Απόκης · #2

parmenides51 έγραψε:2. Να βρεθούν τρεις αριθμοί $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ που να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου
εαν γνωρίζουμε οτι η διαφορά της $\displaystyle{ \omega }$ είναι ίση με $\displaystyle{1}$ και οτι το άθροισμα τους ισούται με το γινόμενο τους.

Έστω $\displaystyle{x-1,x,x+1}$ οι αριθμοί.

Ισχύει : $\displaystyle{x-1+x+x+1=x(x+1)(x-1)\Leftrightarrow 3x=x(x^2-1)\Leftrightarrow x(x^2-4)=0\Leftrightarrow x=0~\acute{\eta}~x=2~\acute{\eta}~x=-2}$

Άρα έχουμε $\displaystyle{(a,\beta,\gamma)=(-1,0,1)~\acute{\eta}~(a,\beta,\gamma)=(1,0,-1)~\acute{\eta}~(a,\beta,\gamma)=(1,2,3)}$

$\displaystyle{\acute{\eta}~(a,\beta,\gamma)=(3,2,1)~\acute{\eta}~(a,\beta,\gamma)=(-3,-2,-1)~\acute{\eta}~(a,\beta,\gamma)=(-1,-2,-3)}$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

parmenides51 έγραψε:1. Εαν $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma,x,y,z}$ είναι πραγματικοί αριθμοί και πληρούν τις σχέσεις $\displaystyle{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1}$
και $\displaystyle{x^2+y^2+z^2=1}$ , να αποδείξετε οτι $\displaystyle{(\alpha x +\beta y+\gamma z)^2\le 1}$

Άμεση εφαρμογή της ανισότητας

$\left(ax+\beta y+\gamma z \right)^{2}\leq \left(a^{2}+\beta^{2} +\gamma^{2} \right)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2} \right)$

Φυσικά αν ήμουν υποψήφιος του 1974 , θα έγραφα αναλυτικότατα την απόδειξη της ανισότητας που επικαλούμαι.

Γιώργος Απόκης · #4

parmenides51 έγραψε:5. Να αποδειχθεί η ταυτότητα $\displaystyle{\alpha(\alpha+\beta)(\alpha+2\beta)(\alpha+3\beta)+\beta^4=(\alpha^2+3\alpha\beta+\beta^2)^2}$

Κάνοντας τις πράξεις στο κάθε μέλος ξεχωριστά καταλήγουμε στην παράσταση $\displaystyle{a^4+6a^3\beta+11a^2\beta^2+6a\beta^3+\beta^4}$

ΙΚΑΡΩΝ 1974 ΑΛΓΕΒΡΑ

ΙΚΑΡΩΝ 1974 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1974 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1974 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1974 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση