ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. Να βρεθούν τρεις αριθμοί $\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma}$ διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου
για τους οποίους ισχύει $\displaystyle{ \alpha+\beta+\gamma=3}$ και $\displaystyle{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=3}$ .

2. Δίνονται δυο αριθμοί $\displaystyle{\alpha,\beta}$ που επαληθεύουν τις σχέσεις $\displaystyle{\begin{cases} \alpha+\beta =2 \\ \alpha-2\beta=-1 \end{cases}}$ .
Να βρεθεί για ποιες τιμές του $\displaystyle{x}$ ισχύει η ανίσωση $\displaystyle{x^2+\alpha x+\beta <0}$ .

3. Εαν $\displaystyle{A=\{x|x\in\mathbb{R}_+ \,\,: \log_x 25=2 \}}$ και $\displaystyle{B=\{x|x\in\mathbb{R} \,\,: x^2+x+1>0 \}}$ ,
να βρεθούν τα $\displaystyle{A\cap B}$ και $\displaystyle{A\cap B^{c}}$ , όπου $\displaystyle{B^{c}}$ το συμπληρωματικό του $\displaystyle{B}$ ως προς σύνολο αναφοράς το $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

4. Δίνεται πολυώνυμο $\displaystyle{p(x)}$ . Να δειχτεί οτι το πολυώνυμο της διαίρεσης $\displaystyle{p(x): (\alpha x+\beta)}$ είναι $\displaystyle{p\left(-\frac{\beta}{\alpha}\right)}$

Tolaso J Kos · #2

parmenides51 έγραψε:
3. Εαν $\displaystyle{A=\{x|x\in\mathbb{R}_+ \,\,: \log_x 25=2 \}}$ και $\displaystyle{B=\{x|x\in\mathbb{R} \,\,: x^2+x+1>0 \}}$ ,
να βρεθούν τα $\displaystyle{A\cap B}$ και $\displaystyle{A\cap B^{c}}$ , όπου $\displaystyle{B^{c}}$ το συμπληρωματικό του $\displaystyle{B}$ ως προς σύνολο αναφοράς το $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

Θα κάνω μία προσπάθεια..
$\displaystyle{A\left \{ x\mid x\in \mathbb{R_+}\mid x^2=25\right \}\Rightarrow A=\left \{ 5 \right \}}$
Το $\displaystyle{B}$ είναι προφανώς όλο το $\displaystyle{\mathbb{R}}$ . Άρα $\displaystyle{B^c=\varnothing }$
Τότε $\displaystyle{A\cap B=\left \{ 5 \right \},\, \, \, A\cap B^c=\varnothing }$ .

hlkampel · #3

parmenides51 έγραψε:1. Να βρεθούν τρεις αριθμοί $\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma}$ διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου
για τους οποίους ισχύει $\displaystyle{ \alpha+\beta+\gamma=3}$ και $\displaystyle{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=3}$ .

Αφού οι $\alpha ,\beta ,\gamma$ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου θα ισχύει $\alpha \cdot \beta \cdot \gamma \ne 0$ .

Χωρίς βλάβη της γενικότητας, έστω $\beta$ είναι ο μεσαίος όρος.

Αν $\lambda \ne 0$ ο λόγος της προόδου τότε: $\displaystyle\frac{\beta }{\alpha } = \frac{\gamma }{\beta } = \lambda$

Διαιρώντας την πρώτη ισότητα με $\beta$ παίρνουμε: $\displaystyle\frac{1}{\lambda } + 1 + \lambda = \frac{3}{\beta } \Leftrightarrow \frac{1}{\lambda } + \lambda = \frac{3}{\beta } - 1\;\left( 1 \right)$

Διαιρώντας την δεύτερη ισότητα με ${\beta ^2}$ παίρνουμε: $\displaystyle\frac{1}{{{\lambda ^2}}} + 1 + {\lambda ^2} = \frac{3}{{{\beta ^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{\lambda ^2}}} + {\lambda ^2} = \frac{3}{{{\beta ^2}}} - 1\; \Leftrightarrow$

$\displaystyle {\left( {\frac{1}{\lambda } + \lambda } \right)^2} - 2 = \frac{3}{{{\beta ^2}}} - 1\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 1 \right)} {\left( {\frac{3}{\beta } - 1} \right)^2} = \frac{3}{{{\beta ^2}}} + 1 \Leftrightarrow$

$\displaystyle\frac{9}{{{\beta ^2}}} - \frac{6}{\beta } + 1 = \frac{3}{{{\beta ^2}}} + 1 \Leftrightarrow \frac{6}{{{\beta ^2}}} - \frac{6}{\beta } = 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle\frac{6}{\beta }\left( {\frac{1}{\beta } - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \beta = 1$

Με $\displaystyle\beta = 1$ η σχέση $\displaystyle \left( 1 \right)$ γίνεται: $\frac{1}{\lambda } + \lambda = 2\mathop \Leftrightarrow \limits^{ \cdot \lambda } {\lambda ^2} - 2\lambda + 1 = 0 \Leftrightarrow \lambda = 1$

Άρα $\alpha = \beta = \gamma = 1$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

parmenides51 έγραψε:

2. Δίνονται δυο αριθμοί $\displaystyle{\alpha,\beta}$ που επαληθεύουν τις σχέσεις $\displaystyle{\begin{cases} \alpha+\beta =2 \\ \alpha-2\beta=-1 \end{cases}}$ .
Να βρεθεί για ποιες τιμές του $\displaystyle{x}$ ισχύει η ανίσωση $\displaystyle{x^2+\alpha x+\beta <0}$ .

Ας λυθεί κι αυτό...
Τους έπιανε κάτι τότε και έβαζαν κάποιο εύκολο θέμα . όπως αυτό.

Αν λύσουμε το γραμμικό σύστημα που δίνεται . καταλήγουμε εύκολα ότι $a=\beta =1.$
Έτσι η ανίσωση μας είναι η $x^{2}+x+1<0$ , η οποία έχει θετικό το συντελεστή του δευτεροβάθμιου όρου
και αρνητική διακρίνουσα , $\Delta =-3<0.$
Άρα $x^{2}+x+1>0$ για κάθε πραγματικό αριθμό

Άρα δεν υπάρχουν τιμές του πραγματικού αριθμού

τέτοιες ώστε
$\displaystyle{x^2+\alpha x+\beta <0}$ .

ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση