Σ.Μ.Α. 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. Εαν $\displaystyle{0<x<1}$ και $\displaystyle{\nu\in\mathbb{N}}$ να δειχθεί οτι $\displaystyle{\frac{1-x^{\nu+1}}{\nu+1}<\frac{1-x^{\nu}}{\nu}}$

2. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} x|y|+y|x|=-4\\ x+|x|+y+|y|=0 \end{cases}}$ όπου $\displaystyle{ x,y \in\mathbb{Z}}$

3. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\frac{x(yw+1)}{w}=\frac{y(wx+1)}{x}=\frac{w(xy+1)}{y}=2}$

4. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{ \sqrt[3]{\frac{x+3}{5x+2}}+\sqrt[3]{\frac{5x+2}{x+3}}=\frac{13}{6}}$

5. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} y^2+w^2-x(y+w)=\alpha^2\\ w^2+x^2-y(w+x)=\beta^2 \\ x^2+y^2-w(x+y)=\gamma^2 \end{cases}}$

Γιώργος Απόκης · #2

parmenides51 έγραψε: 4. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{ \sqrt[3]{\frac{x+3}{5x+2}}+\sqrt[3]{\frac{5x+2}{x+3}}=\frac{13}{6}}$

Με $\displaystyle{x\ne-\frac{2}{5},x\ne -3}$ θέτουμε $\displaystyle{\sqrt[3]{\frac{x+3}{5x+2}}=y}$ και η εξίσωση γίνεται

$\displaystyle{y+\frac{1}{y}=\frac{13}{6}\Leftrightarrow 6y^2-13y+6=0\Leftrightarrow y=\frac{3}{2}~\acute{\eta}~y=\frac{2}{3}}$

$\displaystyle{\bullet \sqrt[3]{\frac{x+3}{5x+2}}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow\frac{x+3}{5x+2}=\frac{27}{8} \Leftrightarrow 8x+24=135x+54\Leftrightarrow x=-\frac{30}{127} }$

$\displaystyle{\bullet \sqrt[3]{\frac{x+3}{5x+2}}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow\frac{x+3}{5x+2}=\frac{8}{27} \Leftrightarrow 27x+81=40x+16\Leftrightarrow x=5} }$

apotin · #3

parmenides51 έγραψε: 4. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{ \sqrt[3]{\frac{x+3}{5x+2}}+\sqrt[3]{\frac{5x+2}{x+3}}=\frac{13}{6}}$

Η εξίσωση ορίζεται για κάθε $\displaystyle{x}$ : $\displaystyle{x \ne - 3\;\; \wedge \;\;x \ne - \frac{2}{5}}$

Θέτω $\displaystyle{\sqrt[3]{{\frac{{x + 3}}{{5x + 2}}}} = y}$ οπότε $\displaystyle{\sqrt[3]{{\frac{{5x + 2}}{{x + 3}}}} = \frac{1}{y}}$

Έτσι έχουμε:

$\displaystyle{y + \frac{1}{y} = \frac{{13}}{6} \Leftrightarrow 6{y^2} - 13y + 6 = 0 \Leftrightarrow y = \frac{3}{2}\;\; \vee \;\;y = \frac{2}{3}}$

$\bullet$ $\displaystyle{y = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{{x + 3}}{{5x + 2}} = \frac{{27}}{4} \Leftrightarrow x = - \frac{{30}}{{127}}}$

$\bullet$ $\displaystyle{y = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{{x + 3}}{{5x + 2}} = \frac{4}{{27}} \Leftrightarrow x = 5}$

που και οι δύο δεκτές

Γεια σου Γιώργο και χρόνια πολλά

parmenides51 · #4

parmenides51 έγραψε:1. Εαν $\displaystyle{0<x<1}$ και $\displaystyle{\nu\in\mathbb{N}}$ να δειχθεί οτι $\displaystyle{\frac{1-x^{\nu+1}}{\nu+1}<\frac{1-x^{\nu}}{\nu}}$

πάλι (ένα χρόνο μετά) εδώ (λυμένη)

apotin · #5

parmenides51 έγραψε: 3. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\frac{x(yw+1)}{w}=\frac{y(wx+1)}{x}=\frac{w(xy+1)}{y}=2}$

Το σύστημα ορίζεται για κάθε $\displaystyle{xyw \ne 0}$

Έχουμε

$\displaystyle{\frac{{x(yw + 1)}}{w} = \frac{{y(wx + 1)}}{x} = \frac{{w(xy + 1)}}{y} = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} xyw + x = 2w\;\;\;\left( 1 \right)\\ xyw + y = 2x\;\;\;\left( 2 \right)\\ xyw + w = 2y\;\;\;\left( 3 \right) \end{array} \right.}$

Τότε

$\displaystyle{\left( 1 \right) - \left( 2 \right) \Rightarrow x - y = 2\left( {w - x} \right)}$
$\displaystyle{\left( 2 \right) - \left( 3 \right) \Rightarrow y - w = 2\left( {x - y} \right)}$
$\displaystyle{\left( 3 \right) - \left( 1 \right) \Rightarrow w - x = 2\left( {y - w} \right)}$

Οπότε

$\displaystyle{x - y = 2\left( {w - x} \right) = 4\left( {y - w} \right) = 8\left( {x - y} \right) \Rightarrow x = y}$

Τότε

$\displaystyle{\left( 1 \right) \Rightarrow {x^3} + x = 2x \Leftrightarrow {x^3} - x = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\;\mathop { \Leftrightarrow \;}\limits^{x \ne 0} x = \pm 1}$

Άρα το σύστημα έχει τις παρακάτω λύσεις

$\displaystyle{\left( {x,\;y,\;w} \right) = \left( {1,\;1,\;1} \right)\;\; \vee \;\;\left( {x,\;y,\;w} \right) = \left( { - 1,\; - 1,\; - 1} \right)}$

apotin · #6

parmenides51 έγραψε:2. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} x|y|+y|x|=-4\\ x+|x|+y+|y|=0 \end{cases}}$ όπου $\displaystyle{ x,y \in\mathbb{Z}}$

Έχουμε
$\displaystyle{{\rm{x + }}\left| x \right| + y + \left| y \right| = 0 \Rightarrow - \left( {x + y} \right) = \left| x \right| + \left| y \right| \ge \left| {x + y} \right| \Rightarrow - \left( {x + y} \right) = \left| {x + y} \right| \Rightarrow x + y \le 0}$
και
$\displaystyle{{\rm{x + }}\left| x \right| + y + \left| y \right| = 0 \Rightarrow \left| x \right| + \left| y \right| = - \left( {x + y} \right) \le \left| {x + y} \right| \Rightarrow \left| x \right| + \left| y \right| = \left| {x + y} \right| \Rightarrow xy \ge 0}$
Άρα $\displaystyle{x,\;y \le 0}$
οπότε το σύστημα γίνεται
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} - xy - xy = - 4\\ x - x + y - y = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow xy = 2}$
Αφού οι $\displaystyle{x, y}$ είναι ακέραιοι έχουμε τις λύσεις
$\displaystyle{\left( {x,\;y} \right) = \left( { - 1,\; - 2} \right)\;\; \vee \;\;\left( {x,\;y} \right) = \left( { - 2,\; - 1} \right)}$

Σ.Μ.Α. 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

Σ.Μ.Α. 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση