Σ.Μ.Α. 1974 ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. Να βρεθεί το σύνολο των λύσεων του συστήματος $\displaystyle{\begin{cases} x-4y+2z=-1 \\ 2x-3y-z-5t=-7 \\ 3x-7y+z-5t=-8 \\ y-z-t=-1 \end{cases}}$

2. Δίνεται η ακολουθία $\displaystyle{ \alpha_{\nu}=\frac{3\nu^2+1}{\nu^2+\nu+1}, \nu=1,2,3,...}$ .
Να βρεθεί θετικός αριθμός $\displaystyle{ n}$ τέτοιος ώστε εαν $\displaystyle{\nu\ge n}$ να είναι $\displaystyle{ \left|\alpha_{\nu} -3\right|<0,00001}$

3. Εαν $\displaystyle{|\alpha|+|\beta|=1}$ όπου $\displaystyle{\alpha,\beta\in\mathbb{R}^*}$ , να δειχθεί οτι $\displaystyle{\left(|\alpha|+\frac{1}{|\alpha|}\right)^2+ \left(|\beta|+\frac{1}{|\beta|}\right)^2\ge \frac{{\color{red}25}}{2}}$

4. Εαν $\displaystyle{0<x<1}$ και $\displaystyle{\nu\in\mathbb{N}}$ να δειχθεί οτι $\displaystyle{\frac{1-x^{\nu+1}}{\nu+1}<\frac{1-x^{\nu}}{\nu}}$

5. Εαν οι αριθμοί $\displaystyle{x_1,x_2,x_3}$ είναι διαφορετικοί μεταξύ τους και μη μηδενικοί και ικανοποιούν τις σχέσεις
$\displaystyle{\begin{cases} x_1x_2-\alpha x_1+\alpha^2=0 \\ x_2x_3-\alpha x_2+\alpha^2=0 \\ x_3x_1-\alpha x_3+\alpha^2=0 \end{cases}}$ με $\displaystyle{\alpha\ne 0}$ , τότε θα ικανοποιούν και τη σχέση $\displaystyle{\frac{1}{x_1-x_2}+ \frac{1}{x_2-x_3}+ \frac{1}{x_3-x_1}= \frac{1}{\alpha}}$

edit's
διόρθωση στο 3ο θέμα, ευχαριστώ τον Κώστα (Ζερβό) που το πρόσεξε
αφαίρεση σχόλιου για θέματα Τριγωνομετρίας και Γεωμετρίας μιας και τα βρήκαμε

kostas_zervos · #2

parmenides51 έγραψε:
3. Εαν $\displaystyle{|\alpha|+|\beta|=1}$ όπου $\displaystyle{\alpha,\beta\in\mathbb{R}^*}$ , να δειχθεί οτι $\displaystyle{\left(|\alpha|+\frac{1}{|\alpha|}\right)^2+ \left(|\beta|+\frac{1}{|\beta|}\right)^2\ge \frac{5}{2}}$

Είναι $|\alpha|+|\beta|\geq 2\sqrt{|\alpha\beta|}\iff |\alpha\beta|\leq \dfrac{1}{4}\iff \dfrac{1}{|\alpha\beta|}\geq 4$ .

Από την $2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2$ έχουμε:

$\left(|\alpha|+\dfrac{1}{|\alpha|}\right)^2+ \left(|\beta|+\dfrac{1}{|\beta|}\right)^2\geq \dfrac{1}{2}\left(|\alpha|+|\beta|+\dfrac{1}{|\alpha|}+\dfrac{1}{|\beta|}\right)^2=$

$=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{|\alpha|+|\beta|}{|\alpha\beta|}\right)^2\geq \dfrac{(1+4)^2}{2}=\dfrac{25}{2}$ .

Η ισότητα ισχύει για $|\alpha|=|\beta|=\dfrac{1}{2}$ .

Έχει τυπογραφικό η εκφώνηση.

AIAS · #3

parmenides51 έγραψε:
2. Δίνεται η ακολουθία $\displaystyle{ \alpha_{\nu}=\frac{3\nu^2+1}{\nu^2+\nu+1}, \nu=1,2,3,...}$ .
Να βρεθεί θετικός αριθμός $\displaystyle{ n}$ τέτοιος ώστε εαν $\displaystyle{\nu\ge n}$ να είναι $\displaystyle{ \left|\alpha_{\nu} -3\right|<0,00001}$
Υ.Γ. Τα θέματα ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Σ.Μ.Α 1974 δεν τα είχε στο Δελτίο του Πάλλα,
αν κάποιος έχει κάποια άλλη πηγή, θα χαιρόμασταν ιδιαίτερα να τα μοιραστεί μαζί μας.

$|{a_\nu } - 3| = |\dfrac{{ - 3\nu - 2}}{{{\nu ^2} + \nu + 1}}| = \dfrac{{3\nu + 2}}{{{\nu ^2} + \nu + 1}} < \dfrac{{3\nu + 2\nu }}{{{\nu ^2}}} = \dfrac{5}{\nu } < \dfrac{1}{{{{10}^5}}} \Rightarrow \nu > 5 \cdot {10^5}$ .Άρα μπορούμε να επιλέξουμε ως $\boxed{n = 5 \cdot {{10}^5} + 1}$

AIAS

apotin · #4

parmenides51 έγραψε:1. Να βρεθεί το σύνολο των λύσεων του συστήματος $\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x - 4y + 2z = - 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)}\\ {2x - 3y - z - 5t = - 7\;\;\;\;\left( 2 \right)}\\ {3x - 7y + z - 5t = - 8\;\;\;\;\left( 3 \right)}\\ {y - z - t = - 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 4 \right)} \end{array}} \right.}$

Έχουμε

$\displaystyle{\left( 3 \right) - \left( 2 \right) \Rightarrow x - 4y + 2z = - 1}$ που είναι η $\displaystyle{(1)}$

$\displaystyle{\left( 2 \right) - 2*\left( 1 \right) \Rightarrow y - z - t = - 1}$ που είναι η $\displaystyle{(4)}$

Έτσι το σύστημα γίνεται

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} x - 4y + 2z = - 1\\ y - z - t = - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 4y + 2z = - 1\\ y - z = t - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2z + 4t - 5\\ y = z + t - 1 \end{array} \right.}$

που έχει άπειρες λύσεις της μορφής

$\displaystyle{\left( {x,\;y,\;z,\;t} \right) = \left( {2a + 4b - 5,\;a + b - 1,\;a,\;b} \right),\;\;\;a,\;b \in \mathbb{R}}$

GMANS · #5

parmenides51 έγραψε: 4. Εαν $\displaystyle{0<x<1}$ και $\displaystyle{\nu\in\mathbb{N}}$ να δειχθεί οτι $\displaystyle{\frac{1-x^{\nu+1}}{\nu+1}<\frac{1-x^{\nu}}{\nu}}$

η δοσμένη ισοδύναμα γράφεται
$\frac{1-x^n^+^1}{1-x^n}<\frac{n+1}{n}\Leftrightarrow$
$\frac{(1-x)(1+x+...+x^n)}{(1-x)(1+x+...+x^n^-^1)}<\frac{n+1}{n}\Leftrightarrow$
$\frac{1+x+...+x^n^-^1+x^n}{1+x+...+x^n^-^1}<1+\frac{1}{n}\Leftrightarrow$
$1+\frac{x^n}{1+x+...+x^n^-^1}<1+\frac{1}{n}\Leftrightarrow$
$\frac{1+x+...+x^n^-^1}{x^n}>n \Leftrightarrow$
$\frac{1}{x}+(\frac{1}{x})^2 +...+(\frac{1}{x})^n>n (1))$
Που ισχύει αφού
$\frac{1}{x}>1$
$(\frac{1}{x})^2>1$
...........................................
$(\frac{1}{x})^n>1$

Και προσθέτοντας προκύπτει η (1)

STOPJOHN · #6

Καλησπέρα και ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ. Αφαιρώντας ανά δυο τις δοθείσες σχέσεις έχουμε :
$x_{1}(x_{2}-x_{3})+\alpha (x_{3}-x_{1})=0, (1) x_{2}(x_{1}-x_{3})+a(x_{2}-x_{1})=0 , (2)$

Από τις σχέσεις $(1),(2)\Rightarrow \frac{1}{a}=\frac{x_{1}-x_{3}}{x_{1}(x_{2}-x_{3})}{}{}=\frac{x_{1}-x_{2}}{x_{2}(x_{1}-x_{3})}$
Δηλαδή
$a(x_{1}-x_{3})=x_{1}(x_{2}-x_{3})\Leftrightarrow a(x_{1}-x_{3})^{2}=x_{1}(x_{2}-x_{3})(x_{1}-x_{3}) , (*)$
Θα δείξω ότι
$x_{1}(x_{1}-x_{3})=(x_{1}-x_{2})(a+x_{1}-x_{3}) (**) (**)\Leftrightarrow a(x_{1}-x_{2})=x_{2}(x_{1}-x_{3})$
Η τελευταία ισχύει από την (2)

Προφανώς η αποδεικτέα σχέση γράφεται
$a(x_{1}-x_{3})^{2}=(x_{1}-x_{2})(x_{2}-x_{3})(x_{1}-x_{3}+a)$

Γιάννης

Σ.Μ.Α. 1974 ΑΛΓΕΒΡΑ

Σ.Μ.Α. 1974 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1974 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1974 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1974 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1974 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1974 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση