ΙΚΑΡΩΝ 1974 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Δίνονται δυο παράλληλα επίπεδα $\displaystyle{\Pi }$ και $\displaystyle{\Pi '}$ και πάνω στο $\displaystyle{\Pi}$ ένα ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{OA{\color{red}=\alpha}}$ και πάνω στο $\displaystyle{\Pi' }$ ένα ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{O'A' {\color{red}=\alpha'}}$ . Τα τμήματα αυτά είναι ορθογώνια και περιστρέφονται στο επίπεδο τους , γύρω από τα τα ορισμένα άκρα τους $\displaystyle{O }$ και $\displaystyle{O' }$ αντίστοιχα, έτσι ώστε να παραμένουν ορθογώνια. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου $\displaystyle{M}$ του ευθύγραμμου τμήματος $\displaystyle{AA'}$ .

2. Εαν $\displaystyle{\Lambda,M,N}$ είναι τα σημεία επαφής των πλευρών τριγώνου τριγώνου με τον εγγεγραμμενο του κύκλο $\displaystyle{(O)}$ , o λόγος των αποστάσεων του κέντρου $\displaystyle{O}$ από δυο απέναντι κορυφές των τριγώνων $\displaystyle{AB\Gamma}$ και $\displaystyle{\Lambda MN }$ είναι ίσος με τον λόγο των αποστάσεων των ίδιων κορυφών από τις απέναντι σε αυτές πλευρές.

3. Εαν από το μέσο καθεμιας από τις διαγώνιους τετραπλεύρου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ αχθεί παράλληλος προς την άλλη, και από το κοινό σημείο των παραλλήλων αυτών φέρουμε ευθείες προς τα μεσα των πλευρών του τετραπλεύρου, αυτές θα διαιρούν το τετράπλευρο σε τέσσερα μέρη ισοδύναμα.

4. Να κατασκευασθεί τρίγωνο από τις τρεις γωνίες του και από το εμβαδόν του $\displaystyle{ \mu^2}$ .

5. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων $\displaystyle{M}$ των κύκλων που τέμνουν σε δυο ίσα μέρη δυο δοθέντες κύκλους.

edit
βελτίωση της διατύπωσης στο 1ο, ευχαριστώ τον Κώστα Δόρτσιο για την επισήμανση

STOPJOHN · #2

parmenides51 έγραψε: 4. Να κατασκευασθεί τρίγωνο από τις τρεις γωνίες του και από το εμβαδόν του $\displaystyle{ \mu^2}$ .

Έστω $AB\Gamma$ το ζητούμενο τρίγωνο τότε $(AB\Gamma )=\frac{1}{2}\beta \gamma \eta \mu A\Rightarrow \beta \gamma =\frac{2\mu ^{2}}{\eta \mu A}\Rightarrow \beta \gamma =c_{1}$ με $c_{1}$ σταθερό
Ομοίως $\alpha \beta =c_{2}, \alpha \gamma =c_{3}$ σταθερά
Αρα $\alpha \beta \gamma =c_{1}c_{2}c_{3}=c, E=\frac{\alpha \beta \gamma }{4R}\Rightarrow R=\frac{c}{4\mu ^{2}}$
Από το νόμο των ημιτόνων είναι $\alpha =2.\frac{c}{4\mu ^{2}}.\eta \mu A$
Συνεπώς οι τρείς πλευρές του τριγώνου είναι σταθερές και το τρίγωνο κατασκευάζεται

Γιάννης

#3

parmenides51 έγραψε:1. Δίνονται δυο παράλληλα επίπεδα $\displaystyle{\Pi }$ και $\displaystyle{\Pi '}$ και πάνω στο $\displaystyle{\Pi}$ ένα ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{OA{\color{red}=\alpha}}$ και πάνω στο $\displaystyle{\Pi' }$ ένα ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{O'A' {\color{red}=\alpha'}}$ .
Τα τμήματα αυτά είναι ορθογώνια και περιστρέφονται στο επίπεδο τους , γύρω από τα τα ορισμένα άκρα τους $\displaystyle{O }$ και $\displaystyle{O' }$ αντίστοιχα, έτσι ώστε να παραμένουν ορθογώνια.
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου $\displaystyle{M}$ του ευθύγραμμου τμήματος $\displaystyle{AA'}$ .

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Ορθογώνια Τμήματα.PNG (69.93 KiB) Προβλήθηκε 589 φορές

Το τμήμα $\displaystyle{OA=a}$ έχει σταθερό άκρο το $\displaystyle{O}$ και περιστρέφεται σε επίπεδο $\displaystyle{(P) }$ παράλληλο προς το $\displaystyle{(P')}$
όπου το σημείο $\displaystyle{A}$ διαγράφει τον κύκλο $\displaystyle{(C_1)}$ .(Το επίπεδο $\displaystyle{(P)}$ δε φαίνεται για λόγους απλότητας του σχήματος)

Το τμήμα $\displaystyle{O'A'=b}$ ανήκει στο επίπεδο $\displaystyle{(P')}$ , είναι ορθογώνιο προς το $\displaystyle{OA}$ και απέχει από το ίχνος $\displaystyle{O_1}$ της καθέτου από το $\displaystyle{O}$ προς το επίπεδο $\displaystyle{(P)}$ απόσταση $\displaystyle{O_1O'=c}$ .

Προβάλλοντας το σημείο $\displaystyle{A}$ επί του $\displaystyle{(P)}$ προκύπτει το σημείο $\displaystyle{A_1}$ . Όμοια η προβολή του μέσου $\displaystyle{M}$ είναι το $\displaystyle{M_1}$ , μέσο του $\displaystyle{A'A_1}$ .

Από το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{O'A'A_1}$ προκύπτει ότι:

$\displaystyl A'A_1=\sqrt{(O'A_1)^2+(O'A')^2}=\sqrt{(a+c)^2+b^2}\ \ (1)$

Επομένως η διάμεσος $\displaystyle{O'M_1}$ θα είναι:

$\displaystyl O'M_1=\frac{1}{2}\sqrt{(a+c)^2+b^2}\ \ (2)$

Στο ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{O'M_1A_1}$ εφαρμόζουμε το θεώρημα του Stweart. Άρα:

$\displaystyl c(M_1A_1)^2+a(O'M_1)^2=(O_1M_1)^2(a+c)+ca(a+c)\ \ (3)$

Από την (3) και την (2) και μετά από πράξεις προκύπτει:

$\displaystyl O_1M_1=\frac{1}{2}\sqrt{(a-c)^2+b^2}\ \ (4)$

Από το ορθογώνιο $\displaystyle{O_1M_1MM_2}$ προκύπτει:

$\displaystyl M_2M=\frac{1}{2}\sqrt{(a-c)^2+b^2}\ \ (5)$

Όμως το $\displaystyle{M_2}$ είναι μεσον του $\displaystyle{OO_1}$ δηλαδή σταθερό σημείο και συνεπώς το σημείο

$\displaystyle{M}$ γράφει κύκλο $\displaystyle{\displaystyle{C_2}}$ στο μεσοπαράλληλο επίπεδο των $\displaystyle{P,P'}$ όπου:

$\displaystyl C_2(M_2,\frac{1}{2}\sqrt{(a-c)^2+b^2})$

Κώστας Δόρτσιος

#4

parmenides51 έγραψε: 3. Εαν από το μέσο καθεμιας από τις διαγώνιους τετραπλεύρου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ αχθεί παράλληλος προς την άλλη, και από το κοινό σημείο των παραλλήλων αυτών φέρουμε ευθείες προς τα μεσα των πλευρών του τετραπλεύρου, αυτές θα διαιρούν το τετράπλευρο σε τέσσερα μέρη ισοδύναμα.

Εδώ

S.E.Louridas · #5

parmenides51 έγραψε:4. Να κατασκευασθεί τρίγωνο από τις τρεις γωνίες του και από το εμβαδόν του $\displaystyle{ \mu^2}$ .

Κατασκευάζουμε τρίγωνο ${A_1}{B_1}{C_1}$ ώστε $\angle A_1 = \angle A,\;\;\angle B_1 = \angle B$ το οποίο θα είναι όμοιο προς το ζητούμενο ABC

, ως επίσης κατασκευάζουμε στη συνέχεια και το ύψος του $h_{a_1 }$ από τη κορυφή A_1

.
Τότε παίρνουμε
$\displaystyle{\frac{{2\mu ^2 }} {{h_1 a_1 }} = \frac{{a^2 }} {{a_1^2 }} \Rightarrow a^2 = \frac{{2\mu ^2 a_1 }} {{h_1 }}.}$
Αυτή η τελευταία σχέση οδηγεί στην κατασκευή της BC=a

άρα και του ζητούμενου τριγώνου ABC

.

ΙΚΑΡΩΝ 1974 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΙΚΑΡΩΝ 1974 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1974 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1974 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1974 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1974 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση