ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. Να απλοποιηθεί η παράσταση $\displaystyle{ \left(\frac{\alpha}{1+\alpha}+\frac{1-\alpha}{\alpha}\right):\left(\frac{\alpha}{1+\alpha}-\frac{1-\alpha}{\alpha}\right)}$

2. Εαν $\displaystyle{\alpha>\beta>0}$ και ισχύει η σχέση $\displaystyle{\alpha^2+\beta^2=11\alpha\beta}$ ,
να δειχθεί οτι θα ισχύει και η σχέση $\displaystyle{\log \frac{\alpha-\beta}{3}=\frac{1}{2}(\log \alpha+\log \beta)}$ .

3. Κάποιος έχει $\displaystyle{82}$ κέρματα των δυο, των πέντε και των δέκα δραχμών συνολικής αξίας $\displaystyle{335}$ δραχμών.
Εαν γνωρίζουμε οτι τα πεντάδραχμα είναι κατά δυο περισσότερα των δεκάδραχμων,
να βρεθεί πόσα κέρματα έχει από κάθε είδος.

BAGGP93 · #2

parmenides51 έγραψε:

2. Εαν $\displaystyle{\alpha>\beta>0}$ και ισχύει η σχέση $\displaystyle{\alpha^2+\beta^2=11\alpha\beta}$ ,
να δειχθεί οτι θα ισχύει και η σχέση $\displaystyle{\log \frac{\alpha-\beta}{3}=\frac{1}{2}(\log \alpha+\log \beta)}$ .

$\displaystyle{\begin{aligned}\alpha^2+\beta^2=11\,\alpha\,\beta&\Rightarrow \left(\alpha-\beta\right)^2=9\,\alpha\,\beta\\&\Rightarrow \left(\frac{\alpha-\beta}{3}\right)^2=\alpha\,\beta\\&\Rightarrow \log \left(\frac{\alpha-\beta}{3}\right)^2=\log \alpha\,\beta\\&\Rightarrow 2\,\log \frac{\alpha-\beta}{3}=\log \alpha+\log \beta\\&\Rightarrow \log \frac{\alpha-\beta}{3}=\frac{1}{2}\,\left(\log \alpha+\log \beta\right)\end{aligned}}$

Γιώργος Απόκης · #3

parmenides51 έγραψε: 2. Εαν $\displaystyle{\alpha>\beta>0}$ και ισχύει η σχέση $\displaystyle{\alpha^2+\beta^2=11\alpha\beta}$ ,
να δειχθεί οτι θα ισχύει και η σχέση $\displaystyle{\log \frac{\alpha-\beta}{3}=\frac{1}{2}(\log \alpha+\log \beta)}$ .

$\displaystyle{a^2+\beta^2-2a\beta=11 a\beta-2a\beta\Rightarrow (a-\beta)^2=9a\beta\Rightarrow \frac{(a-b)^2}{9}=a\beta\Rightarrow}$

$\displaystyle{\left(\frac{a-\beta}{3}\right)^2=a\beta\Rightarrow \log\left(\frac{a-\beta}{3}\right)^2=\log(a\beta)\Rightarrow \log \frac{a-\beta}{3}=\frac{1}{2}(\log a+\log \beta) }$

Με πρόλαβε ο Βαγγέλης, αφήνω για τον κόπο...

Γιώργος Απόκης · #4

parmenides51 έγραψε:1. Να απλοποιηθεί η παράσταση $\displaystyle{ \left(\frac{\alpha}{1+\alpha}+\frac{1-\alpha}{\alpha}\right):\left(\frac{\alpha}{1+\alpha}-\frac{1-\alpha}{\alpha}\right)}$

$\displaystyle{\left(\frac{a}{1+a}+\frac{1-a}{a}\right):\left(\frac{a}{1+a}-\frac{1-a}{a}\right)=\frac{a^2+1-a^2}{a(1+a)}:\frac{a^2-1+a^2}{a(1+a)}=\frac{1}{a(1+a)}\cdot \frac{a(a+1)}{2a^2-1}=\frac{1}{2a^2-1}}$

Γιώργος Απόκης · #5

parmenides51 έγραψε: 3. Κάποιος έχει $\displaystyle{82}$ κέρματα των δυο, των πέντε και των δέκα δραχμών συνολικής αξίας $\displaystyle{335}$ δραχμών.
Εαν γνωρίζουμε οτι τα πεντάδραχμα είναι κατά δυο περισσότερα των δεκάδραχμων,
να βρεθεί πόσα κέρματα έχει από κάθε είδος.

Έστω $\displaystyle{a,b,c}$ τα κέρματα των $\displaystyle{2,5,10}$ δραχμών αντίστοιχα. Τότε έχουμε τις σχέσεις:

$\displaystyle{\begin{cases} a+b+c=82\\2a+5b+10c=335 \\b=c+2 \end{cases}}$ . Αντικαθιστούμε την 3η εξίσωση στις πρώτες δύο και έχουμε

$\displaystyle{\begin{cases} a+c+2+c=82\\2a+5c+10+10c=335 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a+2c=80\\2a+15c=325 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 2a+4c=160\\2a+15c=325 \end{cases} }$

Αφαιρούμε κατά μέλη : $\displaystyle{11c=165\Leftrightarrow c=15}$ και με αντικατάσταση $\displaystyle{2a+60=160\Leftrightarrow a=50}$ και $\displaystyle{b=15+2=17}$

ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1972 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση